3.1椭圆-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第一册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第一册） 第三章 圆锥曲线的方程 3.1椭圆 一、单选题 1．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的方程为()， 由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为， 根据题意可得近火点满足，， 解得，， 所以椭圆的离心率为， 故选：A． 2．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设的内切圆的半径为， 由，则，， 所以，， 由， 即， 即，若的内切圆的半径最大， 即最大，又， 所以. 故选：D 3．大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为， ∴，设切线为，切线为， ∴，整理得，由知：，整理得， 同理，，可得， ∴，即，故. 故选：D. 4．已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B 5．已知椭圆C：=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点.设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A(-a，0)，B(a，0)，设，则，而，则， 又， 令，则， 所以, 故，即，从而. 故选：A. 6．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，， 四个不同的点， 设，则由正六边形的性质可得，． 由椭圆定义得， 所以， 故选：A． 二、填空题 7．已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________． 【答案】 【解析】设，因为在椭圆上，所以， 所以，所以， 因为线段的中点坐标为，， 所以，，且， 所以，所以且，所以， 故答案为：. 8．已知椭圆：(，)的右焦点为，点在椭圆上，直线与圆：相切于点，若，则的离心率为___________. 【答案】 【解析】 设椭圆左焦点为，由圆方程知其圆心，半径， ，，又，， ，解得：， 由椭圆定义知：； 与圆相切于点，，又，， ，即， 即，整理可得：，. 故答案为：. 9．椭圆，为椭圆的两个焦点且到直线的距离之和为，则离心率__________． 【答案】 【解析】为椭圆的两个焦点坐标为， 设到直线的距离分别， ， 两边平方整理可得，由， 所以，所以，所以， 故答案为： 三、解答题 10．已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析，定点坐标. 【解析】（1）由条件可知：且，解得，所以椭圆的方程为； （2）因为，设， 所以，所以； （3）设，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以，所以，