专题1.1 集合的概念与表示-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.1 集合的概念与表示-重难点题型精讲 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 4．常用的数集及其记法 5．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 6．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 【题型1 集合的基本概念】 【方法点拨】 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 【例1】（2020秋•吕梁期中）下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 【分析】根据集合元素的“确定性”，可知B项中的对象不符合集合的定义．而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项． 【解答】解：对于A，“上课迟到的学生”属于确定的概念，故能构成集合； 对于B，“2020年高考数学难题”界定不明确，不能构成集合； 对于C，任意给一个数都能判断是否为有理数，故能构成集合； 对于D，小于π的正整数分别为1，2，3，能够组成集合． 故选：B． 【点评】本题给出几组对象，要我们找出不能构成集合的对象，着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题． 【变式1-1】（2020秋•万州区校级月考）下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【分析】根据集合中元素的特征即可判断选项是否正确． 【解答】解：因为集合中的元素具有确定性， 而对于A，B，C，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性； 所以A，B，C错误， 对于D，符合集合的定义，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的定义以及集合的元素的特征，属于基础题． 【变式1-2】[多选题]（2020秋•六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（　　） A．比较小的数 B．不大于10的偶数 C．所有三角形 D．高个子男生 【分析】集合中的元素具有确定性，由此能求出结果． 【解答】解：在A中，比较小的数，没有确定性，故A不能构成集合； 在B中，不大于10的偶数，有确定性，故B能构成集合； 在C中，所有三角形，具有确定性，故C能构成集合； 在D中，高个子男生，没有确定性，故D不能构成集合． 故选：BC． 【点评】本题考查集合的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中的元素的确定性的合理运用． 【变式1-3】[多选题]（2020秋•荣成市期中）下列每组对象，能构成集合的是（　　） A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生 【分析】根据集合的定义进行判断即可． 【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能， C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能， ∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合， 故选：BD． 【点评】本题主要考查集合的概念，利用集合元素的确定性是解决本题的关键，比较基础． 【题型2 判断元素与集合的关系】 【方法点拨】 直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：对于一些没