考向03 函数及其性质-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向03 函数及其性质 1．（2019·上海高考真题）下列函数中，值域为 的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果. 【详解】 选项： 值域为 ，错误 选项： 值域为 ，正确 选项： 值域为 ，错误 选项： 值域为 ，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题. 2．（2017·上海高考真题）设定义在 上的函数 满足：对于任意的 、 ，当 时，都有 . （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 为周期函数，证明： 是常值函数； （3）设 恒大于零， 是定义在 上、恒大于零的周期函数， 是 的最大值. 函数 . 证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”. 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围； （2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）＝f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，可得对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数； （3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明． 【详解】 （1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）＝a（x13﹣x23）≤0， ∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0． 故a的范围是[0，+∞）； （2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有 f（x0）＝f（x0+Tk）， 由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk）， ∴f（x0）＝f（x）＝f（x0+Tk）． 又∵f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，并且 …∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R， ∴对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数； （3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）＝c1，设g（x）的一个周期为Tg，则 h（x）＝c1•g（x），则对任意x0∈R， h（x0+Tg）＝c1•g（x0+Tg）＝c1•g（x0）＝h（x0）， 故h（x）是周期函数； 必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th． 任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg， 即[x0﹣Tg，x0]⊆[x0﹣N2Th，x0]， ∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R， ∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…＝R． h（x0）＝g（x0）•f（x0）＝h（x0﹣N2Th）＝g（x0﹣N2Th）•f（x0﹣N2Th）， ∵g（x0）＝M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0． 因此若h（x0）＝h（x0﹣N2Th），必有g（x0）＝M＝g（x0﹣N2Th），且f（x0）＝f（x0﹣N2Th）＝c． 而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数． 综上，必要性得证． 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度较大． 1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识. 2.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 3.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断. 4.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性. 5.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. 6.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 7.利用函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 8.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用. 一、函数及其性质 1.函数的概念 设A，B是两个