第5讲 异面直线间的距离（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第5讲 异面直线间的距离 【知识梳理】 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 【例题解析】 例1．（2021·浙江高二单元测试）二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出的长． 【详解】因为二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，， 所以，， 又 所以 . 所以的长为. 故选：D. 【点睛】本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 例2．（2020·毕节二中高二月考（理））将，边长为1的菱形沿对角线折成二面角，若，则折后两条对角线之间的距离的最值为 A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 【答案】B 【分析】折后两条对角线之间的距离的最值可以根据二面角的范围求得，故先找出二面角的平面角，取的中点为，连接，，则，且，取的中点为，连接，，，则且，，即折后两条对角线之间的距离，当时取最小值；当时取最大值. 【详解】取的中点为，的中点为，连接，，，，， 四边形是边长为1且的菱形 与是两个边长为1的等边三角形 ，， 为二面角的平面角，即，. 又 ，即 为折后两条对角线的公垂线段，则折后两条对角线之间的距离为 在中， 当时，取最小值， 当时，取最大值， 故选：B 【点睛】本题考查异面直线间的距离，确定两条异面直线的公垂线段，是解决本题的关键，属于较难的题. 例3．（2011·广西桂林市·高二月考）棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DD1与BC1之间的距离为 A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合异面直线距离的定义求解DD1与BC1之间的距离即可. 【详解】如图所示，由正方体的性质可知：，， 则的长度为异面直线DD1与BC1之间的距离， 据此可得其距离为. 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线之间的距离的定义与求解，属于基础题. 例4．（2021·全国高一课时练习）正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】如图，用列举法知合要求的点的个数为： 故选C. 例5．（2020·上海高二期末）已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________. 【答案】 【分析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果. 【详解】 平面，平面 又 异面直线与之间距离为 故答案为 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题. 例6．（2016·上海曹杨二中高二期中）已知正方体的棱长为1，则点到直线的距离为________ 【答案】 【分析】如图所示，连接，，，．设，连接．利用等腰三角形的性质可得：，因此是点到直线的距离． 【详解】解：如图所示，连接，，，．设，连接． ，． ，是点到直线的距离． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方体的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 例7．（2016·上海市金山中学高二期中）直线平面，垂足是，正四面体的棱长为，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是_________. 【答案】 【分析】如图所示，始终成立，所以点在以为直径的球面上，故点到直线的距离的最大值等于异面直线与的距离加上球的半径，点到直线的距离的最小值等于异面直线与的距离减去球的半径，即得点到直线的距离的取值范围． 【详解】如图所示，直线平面，垂足是，所以始终成立，故点在以为直径的球面上． 因此，点到直线的距离的最大值等于异面直线与的距离加上球的半径，点到直线的距离的最小值等于异面直线与的距离减去球的半径， 分别取与的中点，连接．易证为异面直线与的距离， 在中，，所以． 而球的半径为2， 故点到直线的距离的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点、线、面的距离计算，意在考查学生的直观想象能力和分析解决问题的能力，属于中档题． 例8．（2018·上海市第二中学高二期中）已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是______cm. 【答案】4 【分析】画出正方体的图形，直接找出异面直线和之间的距离即可． 【详解】由题意画出长方体，如图： 由图形可知：异面直线与之间的距离是：， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查正方体中异面直线的距离的求法，考查空间想象能力，作图能力，属于基础题. 例9．（2018·上海交大附中高二月考