第03讲不等式性质一元二次不等式（考点精讲）-备考2022年高考数学一轮复习之考点精讲练（新高考地区专用）

备考2022年高考高三数学复习之考点精讲 第03讲 不等式性质一元二次不等式 【知识点梳理】 1、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2.一元二次不等式 求一元二次不等式 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 3.含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 或 把看成一个整体，化成，型不等式来求解 4、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 5、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 6、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 7、指数不等式的解法： ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据指数函数的性质转化. 8、对数不等式的解法 ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据对数函数的性质转化. 【考点精讲】 考点一：不等式性质及应用 例1.若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用不等式的性质逐一判断可得答案． 【详解】 对于A，可得，错误； 对于B，当时，，错误； 对于C，可得，错误； 对于D，可得，正确； 故选：D 例2．已知，，则的取值范围______（用区间表示）． 【答案】 【分析】 先由已知得到，再不等式同向相加得到，最后确定的取值范围即可. 【详解】 解：因为，所以， 所以，所以 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】 本题考查利用不等式的性质求式子的取值范围，是基础题. 变式训练1-1．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用列举法排除A，B；利用作差法排除选项C，进而得出正确选项． 【详解】 取，，则，排除A，B；因为，则，，从而.又，即，则，所以， 故选：D. 变式训练1-2．已知，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用不等式的性质逐一判断选项，可得答案． 【详解】 ，，，A错误，B错误； ，，C错误； ，，D正确； 故选：D 变式训练1-3．设，，则，的大小关系为_______. 【答案】 【分析】 先分别将平方，再进行大小比较即可． 【详解】 ，两式的两边分别平方， 可得，， 显然. 所以. 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题. 考点二：一元二次不等式 例3．（多选题）已知关于的不等式解集为，则（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解. 【详解】 因为关于的不等式解集为， 所以和是方程的两个实根，且，故错误； 所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又， 所以，即，即，解得,故正确. 故选：BCD. 【点睛】 利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题. 例4．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分，两种情况，当，对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】 当时，原不等式可化为，对恒成立； 当时，原不等式恒成立，需， 解得， 综上. 故选：D 变式训练2-1．已知关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题得、为方程的根，将代入，即得解 【详解】 由题得、为方程的根， 将代入，得， 即， 故选：A 变式训练2-2．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据不等式的解集中恰有3个正整数，得出，再由不等式的解集求出实数的取值范围. 【详解】 因为不等式的解集中恰有个正整数， 即不等式的解集中恰有个正整数， 所以，所以不等式的解集为 所以这三个正整数为