考向04 基本不等式及应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向04 基本不等式及应用 （2021·全国高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】 本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即可得到答案． 【详解】 由题， ，则 ， 所以 （当且仅当 时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解. 1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 1．重要不等式 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 2．基本不等式 当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 3．基本不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 【知识拓展】 常用推论： （1）（） （2）（，）； （3） 1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知 ， ，且 ，则下列结论中正确的是（ ） A． 有最小值4 B． 有最小值 C． 有最大值 D． 有最大值2 2．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）（多选题）下列命题正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则 C．若 ，则 D．若 ， ， ，则 的最小值为3 3．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三其他模拟（文））若直线 （ ， ）被圆 截得弦长为 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．（2020·安徽高三其他模拟（文））在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(4b-c)cosA=acosC，且 ，则 ABC的周长的取值范围___________. 1．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数， )的关系为 ，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2021·重庆高三三模）(多选题)已知 ， 为正实数，且 ，则（ ） A． 的最大值为2 B． 的最小值为4 C． 的最小值为3 D． 的最小值为 3．（2021·普宁市第二中学高三其他模拟）（多选题）已知 ，则下列选项一定正确的是（ ） A． B． 的最大值为 C． D． 4．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）已知 ， ，则下列说法正确的是（ ） A． 最小值为 B．若 ，则 的最小值为 C．若 ，则 的最小值为 D．若 ，则 的最小值为 5．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值等于______． 6．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 的最大值为___________. 7．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知 都为正实数，则 的最小值为___________． 8．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（理））《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．