第7讲不等式的求解（2）（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第7讲不等式的求解（2） 【知识梳理】 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 1、分式不等式的解法 （1）进行同解变形：； 分式不等式转化为整式不等式来解．； （2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零． 2、含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）. （2）的解集为；的解集为. （3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法. （4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式. 3、含参不等式的求解，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题. 【例题解析】 知识点一：分式不等式 例1．（2021·上海高一期末）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得. 【详解】原不等式等价于，解得, 故答案为：. 例2．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高一月考）若关于的不等式的解集为，不等式的解集是，且中，，则不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】不等式的解集是，不等式的解集为R， 原不等式等价于与同号，从而等价于的解集. 【详解】由题意知：不等式的解集是， 所以不等式的解集是， 不等式的解集是，不等式的解集为R， 所以等价于与同号，所以其等价于， 故不等式的解集为. 故答案为：. 例3．（2021·上海高一期末）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】解分式不等式即可得出该不等式的解集. 【详解】解不等式得，因此，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 例4．（2019·上海位育中学高一期中）关于的不等式解集是，则的解集为________ 【答案】 【分析】先利用不等式的解集与对应方程根的关系，求出的值，然后再求的解集即可. 【详解】关于的不等式可化为，则的解集为，所以的两个解为.则有，所以.所以易求的解集为.故答案为. 【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，分式不等式一般转化为整式不等式求解，注意转化的等价性；利用不等式的解集与其对应方程的根的关系，能简便的求解参数，侧重考查数学运算的核心素养. 例5．（2019·上海高一期中）不等式＞0的解集是______ ． 【答案】（∞，3）∪（1，+∞） 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可得解． 【详解】不等式＞0等价为（x1）（x+3）＞0， 即x＞1或x＜3， 即不等式的解集为（∞，3）∪（1，+∞）， 故答案为（∞，3）∪（1，+∞） 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键． 例6．解下列分式不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【解析】（1） （2）原不等式可化为，此不等式与同解， 由得或，所以原不等式的解集是． （3）原不等式可化为，即．由于的判别式，故的值恒大于，于是原不等式与的解集相同．解得或．所以，原不等式的解集为． （4）原不等式等价于∴原不等式的解为：． 例7．若关于的不等式； （1）当时，求它的解集； （2）若，求不等式的解集． 【难度】★★【答案】（1）； （2）时，；时，；时， 例8．已知关于的不等式的解集是； （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）略（2）∵,