第07讲 平均值不等式及其应用（3种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

第07讲 平均值不等式及其应用（3种题型） 【知识梳理】 一、平均值不等式： 变式： 推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数， 它们的关系是：，当且仅当时等号成立。 【考点剖析】 题型一：简单基本不等式问题 例1．已知正数满足，求的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。 的最小值为 【变式】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A． a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 题型二：不等式的最值问题 例2．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3，则的取值范围是 . 【变式1】设a>b>0，求的最小值。 【变式2】x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 【变式3】非零实数、、满足，则的最小值是________。 【变式4】已知？ 【变式5】函数最大值与最小值分别为 。 【变式6】 题型三：基本不等式的应用 例3．某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【变式1】第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为，如图所示：其中上边，下边和左边各留宽为的空白，右边留宽为的空白，中间阴影部分为文字宣传区域；设矩形画册的长为，宽为，文字宣传区域面积为. （1）用，表示； （2）当，各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？ 【变式2】我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？ 【过关检测】 一、单选题 1．（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）下列各式中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·上海·高一专题练习）已知，则有（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·上海青浦·高一校考阶段练习）设，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）如果实数a，b同号，那么下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）已知，若，则（    ） A．有最小值4 B．有最大值2 C．有最大值1 D．有最小值 6．（2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2022·上海·高一专题练习）已知x、y、z是互不相等的正数，则在、、三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 二、多选题 9．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）已知a、b、c为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A．为定值 B．的最小值为 C．的最大值为 D．无最小值 三、填空题 11．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知a、，且，则ab的最大值是____________. 12．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）若一个直角三角形的面积为，则此三角形周长的最小值是________. 13．（2022秋·上海奉贤·高一校考期中）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在