三角函数的最值问题分类解析-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■胡 磊 纵观近几年的高考试题,三角函数的最 值问题是高考的必考内容。三角函数常见的 最值问题的求法有:二次函数法求最值,基本 不等式法求最值,利用辅助角公式求最值。 下面就这几类情况逐一探讨说明。 方法一:二次函数法求最值 例 1 定 义 一 种 运 算:a ⊗b = a,a≤b, b,a>b。{ 令函数f(x)=(cos 2x+sinx)⊗ 5 4 ,且x∈ 0, π 2[ ],则函数f x- π 2( ) 的值域 是 。 解:由 于 cos2x+sinx= -sin2x+ sinx+1=- sinx- 1 2( ) 2 + 5 4≤ 5 4 ,所以 f(x)=(cos2x+sinx)⊗ 5 4=cos 2x+sinx。 在函数f x- π 2( ) 中,由0≤x- π 2≤ π 2 ,可得 π 2≤x≤π ,所以f x- π 2( )=cos 2 x- π 2( )+ sinx- π 2( ) =sin 2x-cosx= - cos2x+æ è ç cosx+ 1 4 )+1+ 1 4=- cosx+ 1 2( ) 2 + 5 4≤ 5 4 。因为cosx∈[-1,0],所以当cosx=0 或cosx=-1时,f x- π 2( ) 有最小值1,当 cosx=- 1 2 时,f x- π 2( ) 有最大值 5 4 。故 函数f x- π 2( ) 的值域是 1, 5 4[ ]。 本题是一道新定义题,解 题时要严格按照新定义的运 算求出函数的解析式,再利用二次函数的有 界性求最值。 方法二:基本不等式法求最值 例 2 函 数 y= 4sinxcosx+3 sinx+cosx ,x∈ - π 4 ,3π 4( ) 的最小值是 。 解:令t=sinx+cosx= 2sinx+ π 4( ), 则2sinxcosx=t2-1。由x∈ - π 4 ,3π 4( ), 可得t∈(0,2]。由此可得函数y=g(t)= 2t2+1 t =2t+ 1 t ,t∈(0,2],所以g(t)≥ 2 2t· 1 t =2 2 (当且仅当t= 2 2 时取等 号),即所求函数的最小值为22。 本题主要考查换元法和 基本不等式法在求三角函数 最值问题中的应用。 方法三:利用辅助角公式求最值 例3 函数f(x)=3sin2x-2sin2x+ 2sinx-cosx,x∈ 0, π 2[ ] 的值域是 。 解:设t=2sinx-cosx= 5sin(x-θ), 其中θ 由tanθ= 1 2 ,且θ∈ 0, π 2( ) 所确定。 因为x∈ 0, π 2[ ],所以x-θ∈ -θ, π 2-θ[ ], 所以sin(x-θ)∈ -sinθ,sin π2-θ( )[ ]= [-sinθ,cosθ]= - 5 5 ,25 5 é ë êê ù û úú,所 以t∈ [-1,2]。又t2=4sin2x+cos2x-4sinx· cosx=3sin2x+1-2sin2x,所以y=g(t)= t2+t-1,t∈[-1,2],所以- 5 4≤g (t)≤5, 即函数f(x)的值域为 - 5 4 ,5[ ]。 本题主要考查辅助角公 式的应用,考查换元法在处理 函数值域中的应用。 作者单位:山东省平邑县第一中学西校 (责任编辑 郭正华) 32 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2021年6月 $