化简三角函数式的常用方法-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■廖庆伟 三角函数式的化简的常用方法有:直用 公式,变用公式,化切为弦,异名化同名,异角 化同角,高次化低次等。下面举例分析,供大 家学习与参考。 一、直用公式 例1 设函数f(x)=sin π 4x- π 6( )- 2cos2 π 8x+1 ,则f(x)的最小正周期为 。 解:因 为 函 数 f(x)= 3 2sin π 4x- 3 2cos π 4x= 3sin π 4x- π 3( ),故函数f(x) 的最小正周期为T= 2π π 4 =8。 评注:直接利用差角公式、二倍角的余弦 公式即可得到结果。 二、变用公式 例2 当函数y=sinx- 3cosx(0≤ x<2π)取得最大值时,x= 。 解:由y=sinx- 3cosx=2cos π 3sinx( -sin π 3cosx) = 2sin x- π 3( ),可 知 当 sinx- π 3( )=1时,此函数取得最大值。又 0≤x<2π,所以x= 5π 6 。 评注:三角函数公式既可正用,也可变 用,变用公式是三角恒等变换的难点。 三、化切为弦 例3 化简 3tan12°-3 sin12°(4cos212°-2)= 。 解:原式= 3sin12°-3cos12° 2sin12°cos12°(2cos212°-1) = 23sin(12°-60°) 1 2sin48° =-43。 评注:先化切为弦,再利用倍角公式进行 转化,最后逆用两角差的正弦公式即可求值。 四、异名化同名 例4 已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ -2cos2θ= 。 解:原式= sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ sin2θ+cos2θ = tan2θ+tanθ-2 tan2θ+1 = 4+2-2 4+1 = 4 5 。 评注:先把分母用sin2θ+cos2θ代换,再 把分子、分母同除以cos2θ即得结果。 五、异角化同角 例5 函数f(x)=cos2x+ π 3( )+sin 2x 的最大值为 。 解:因为f(x)=cos2xcos π 3-sin2x · sin π 3+ 1-cos2x 2 = 1 2- 3 2sin2x ,所以函数 f(x)的最大值为 1+ 3 2 。 评注:求三角函数的最值,需要将原函数 化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx +φ)+k 的形式,再利用正弦函数或余弦函 数的性质求解。 六、高次化低次 例6 化简 1-sin6x-cos6x 1-sin4x-cos4x 。 解:原式= (sin2x+cos2x)3-sin6x-cos6x (sin2x+cos2x)2-sin4x-cos4x = 3sin4xcos2x+3sin2xcos4x 2sin2xcos2x = 3sin2xcos2x(sin2x+cos2x) 2sin2xcos2x = 3 2 。 评注:将 分 子 中 的1替 换 成(sin2x+ cos2x)3,分母中的1替换成(sin2x+cos2x)2 是解答本题的关键。 作者单位:湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 21 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 $