2020年高考‘三角恒等变换’问题聚焦-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■何 敏 刘大鸣(特级教师) 2020年高考“三角恒等变换”主要围绕 “三角函数的定义、三角函数的求值、方程组 观念的应用、合理的降次和辅助角公式及与 其他知识的交汇应用”等展开,彰显“整体变 量观念、转化化归和数形结合”的数学素养的 具体应用。 聚焦1:利用和差角公式求值 例1 (2020年高考全国卷)已知sinθ+ sinθ+ π 3( )=1,则sinθ+ π 6( )= 。 解:由题设可得sinθ+ 1 2sinθ+ 3 2cosθ= 1,即 3 2sinθ+ 1 2cosθ= 3 3 ,可得sinθcos π 6+ cosθsin π 6= 3 3 ,所以sinθ+ π 6( )= 3 3 。 回味:解答三角函数的给值求值问题,关 键是用所求角表示已知角,再对条件和三角 公式进行沟通,凸显目标意识下灵活选用公 式并进行计算的学科素养。 变式训练1:已知 tanα tanα+ π 4( ) =- 2 3 ,则 sin2α+ π 4( ) 的值是 。 提示:由 tanα tanα+ π 4( ) =- 2 3 ,展开化简可 得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或 tanα= - 1 3 。当tanα=2 时,sin2α = 2tanα tan2α+1= 4 5 ,cos2α= 1-tan2α tan2α+1=- 3 5 ,此 时sin2α+cos2α= 1 5 ;当tanα=- 1 3 时,易 得sin2α=- 3 5 ,cos2α= 4 5 ,此时sin2α+ cos2α= 1 5 。故sin2α+ π 4( )= 2 2 (sin2α+ cos2α)= 2 10 。 聚焦2:利用二倍角公式求值 例2 (2020年高考全国卷)已知α∈ (0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα= 。 解:由3cos2α-8cosα=5,可得6cos2α -8cosα-8=0,即3cos2α-4cosα-4=0,解 得cosα=- 2 3 或cosα=2(舍去)。因为α∈ (0,π),所以sinα= 1-cos2α= 5 3 。 回味:由题设条件和二倍角的余弦公式, 求得cosα的值,再利用同角关系得出结果。 变式训练 2:已 知 α 为 第 四 象 限 角, 则( )。 A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0 提示:利用排除法求解。当α=- π 6 时, cos2α=cos - π 3( )>0,B错误。当α=- π 3 时,cos2α=cos - 2π 3( )<0,A错误。由α是 第四 象 限 角 可 得 sinα<0,cosα>0,则 sin2α=2sinαcosα<0,C错误。应选D。 聚焦3:三角恒等变换的综合问题 例3 (2020年高考北京卷)2020年3月 14日是全球首个国际圆周率日(πDay)。历史 上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数 学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方 法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内 接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均 与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术 平均数作为2π的近似值。按照阿尔·卡西的 方法,π的近似值的表达方式是( )。 A.3nsin 30° n +tan 30° n( ) B.6nsin 30° n +tan 30° n( ) C.3nsin 60° n +tan 60° n( ) 52 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2021年6月 D.6nsin 60° n +tan 60° n( ) 解:借助圆内接正六边形和圆外切正六 边形的关系,利用三角函数的定义构建边长 之间的关系求解。当n=1时,设圆的半径为 R,内接正六边形的边长为a,则 a 2 R=sin30° , 所以a=2Rsin30°。设圆外切正六边形的边 长为b,则 b 2 R=tan30° ,所以b=2Rtan30°。 当n=2时,易 得 a=2Rsin 30° 2 ,b= 2Rtan 30° 2 ;当n=3时,易得a=2Rsin 30° 3 , b=2Rtan 30° 3 。 由题意可得2π= 2Rsin 30° n+2Rtan 30° n( )6n 2 , 即π=3nR sin 30° n +tan 30° n( )。由单位圆的 半径R=1,可得π=3nsin 30° n +tan 30° n( )。 应选A。 回味:理解π的近似值的意义,把握圆内 接正六边形和圆外切正六边形的关系,构造 直角三角形,利用边长之间的关系求解,凸显 三角恒等变换的工具性和应用性。 变式训练3:已知函数f(x)=cos2x+ cos2(x+α)+cos2(x+β),