一类三角函数问题的快捷处理-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■袁伟忠 勾股数在数学解题中应用广泛,它是解 决某些数学问题常采用的计算素材。下面通 过例题探究勾股数在一类三角函数问题中的 快捷解题方法。 例1 已知sinθ+cosθ= 1 5 ,θ∈(0,π), 则tanθ的值是( )。 A. 3 4 B.- 3 4 C. 4 3 D.- 4 3 速解:观察答案与条件,发现有一组勾股 数3,4,5在里面,易知在以3,4,5为边长的 直角三角形中,两个锐角的正弦、余弦值不是 3 5 ,就是4 5 。当角θ 对应的边长为4时,则 sinθ= 4 5 ,cosθ= 3 5 ,这时不符合条件sinθ+ cosθ= 1 5 ,则tanθ= 4 3 不合题意。同理可 知,当角θ对应的边长为3时,也不合题意。 故sinθ与cosθ只需一正一负,才符合条件。 由于θ∈(0,π),所以可把直角三角形中的锐 角变为钝角,令sinθ= 4 5 ,cosθ=- 3 5 ,这时 符合条件sinθ+cosθ= 1 5 ,所以tanθ= - 4 3 。应选D。 例2 已知sinθ+cosθ=- 1 5 ,θ∈(0, π),则tanθ的值是( )。 A. 3 4 B.- 3 4 C. 4 3 D.- 4 3 速解:在以3,4,5为边长的直角三角形 中,两个锐角的正弦、余弦值不是3 5 ,就是4 5 , 当θ∈(0,π)时,sinθ= 3 5 或 4 5( ),对应余弦 值为cosθ=± 4 5 或± 3 5( )。易得sinθ= 3 5 , cosθ=- 4 5 符合条件sinθ+cosθ=- 1 5 ,所 以tanθ=- 3 4 。应选B。 例3 已知sinθ+cosθ=- 7 5 ,θ∈ (-π,0),则tanθ的值是 。 速解:从sinθ=± 3 5 或± 4 5( ) 与对应 cosθ=± 4 5 或± 3 5( ) 中,选出sinθ=- 3 5 , cosθ=- 4 5 或者sinθ=- 4 5 ,cosθ=- 3 5 , 这时满足条件sinθ+cosθ=- 7 5 ,则tanθ= 3 4 或tanθ= 4 3 。 例4 已知sinθ-cosθ=- 17 13 ,θ∈ - π 2 ,π 2( ),则cos2θ的值是 。 速解:利用勾股数5,12,13,从sinθ= ± 5 13 或± 12 13( ) 与对应cosθ=± 12 13 或± 5 13( ) 中, 选出sinθ=- 5 13 ,cosθ= 12 13 或者sinθ= - 12 13 ,cosθ= 5 13 ,这 时 满 足 条 件sinθ- cosθ=- 17 13 ,则cos2θ=2cos2θ-1= 119 169 或 cos2θ=2cos2θ-1=- 119 169 。答案为± 119 169 。 例5 已知α是第二象限角,且tanα= - 7 24 ,则cosα-2sinα= 。 速解:利用勾股数7,24,25求解。因为 α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0。根 据题意令sinα= 7 25 ,cosα=- 24 25 ,则cosα- 2sinα=- 38 25 。 作者单位:广东省揭阳市揭阳华侨高级中学 (责任编辑 郭正华) 31 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 $