细分析 巧变换 妙求值-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■夏晓静 三角函数的求值问题是每年高考的必考 内容。解答这类问题,可利用“平方关系式” “和角公式”“倍角公式”等进行变换求值。下 面对“变式、变角与变名”等方法在解题中的 运用加以归纳,希望对同学们解决三角函数 求值问题有所帮助。 一、观察结构,通过“变式”,求三角函数 的值 例1 已知sinα+cosβ=1,cosα+ sinβ=0,则sin(α+β)= 。 分析:将所给的两个等式分别两边平方, 借助sin2α+cos2α=1即可得到结果。 解:已知两个等式的两边分别平方可得 sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1,cos2α+ sin2β+2cosαsinβ=0,再 将 两 式 相 加 得 (sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sinα· cosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1, 所以sin(α+β)=- 1 2 。 评析:观察所给等式的结构特征,发现具 有轮换对称关系,利用“两边平方”相加,可得 到所求三角函数的值。 跟踪练习1:2 1+sin4+ 2+2cos4 =( )。 A.2cos2 B.2sin2 C.4sin2+2cos2 D.2sin2+4cos2 提示:因 为 π 2<2< 2π 3 ,所 以sin2∈ 3 2 ,1 æ è ç ö ø ÷,cos2∈ - 1 2 ,0( ),所以sin2+cos2 >0。由1+sin4=(sin2+cos2)2,可得 1+sin4= sin2+cos2 =sin2+cos2。 因为1+cos4=2cos22,所以 2+2cos4 = 4cos22= 2cos2 =-2cos2。 所 以 2 1+sin4 + 2+2cos4 = 2sin2+2cos2-2cos2=2sin2。应选B。 二、分析角度,依据“变角”,求三角函数 的值 例2 已知α,β 为锐角,且tanα= 4 3 , cos(α+β)=- 5 5 。 (1)求cos2α的值。 (2)求tan(α-β)的值。 分析:(1)利用已知角α,可求出cos2α 的值;(2)把所求角α-β转化为2α-(α+β) 求解。 解:(1)因为tanα= sinα cosα= 4 3 ,sin2α+ cos2α=1,且 α 为 锐 角,所 以 sinα= 4 5 , cosα= 3 5 ,所以cos2α=2cos2α-1=- 7 25 。 (2)由sin2α=2sinαcosα= 24 25 ,可得 tan2α= sin2α cos2α=- 24 7 。因为cos(α+β)= - 5 5 ,sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,且α,β为 锐角,0<α+β<π,所以sin(α+β)= 25 5 ,可 得tan(α+β)= sin(α+β) cos(α+β) =-2。 所以tan(α-β)=tan2α-(α+β)[ ]= tan2α-tan(α+β) 1+tan2αtan(α+β) = - 24 7- (-2) 1+ - 24 7( )(-2) =- 2 11 。 评析:此题属于求三角函数值中的“给值 求值”型,解题的关键是要找到已知角与所求 角之间的关系,从而达到解题的目的。 跟踪练习2:设α,β∈(0,π),且sin(α+ β)= 5 13 ,tan α 2= 1 2 ,求cosβ的值。 提示:因为α∈(0,π),所以 α 2∈ 0 ,π 2( )。 由tan α 2= sin α 2 cos α 2 = 1 2 ,sin2 α 2+cos 2 α 2=1 , 可得sin α 2= 5 5 ,cos α 2= 25 5 ,所以sinα= 2sin α 2cos α 2= 4 5 ,cosα=2cos2 α 2-1= 3 5 。 4 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 因为sin(α+β)= 5 13 ,sin2(α+β)+cos2(α+ β)=1,所以cos(α+β)=± 12 13 。 由α,β∈(0,π),可得α+β∈(0,2π)。 因为sin(α+β)= 5 13∈ 0 ,1 2( ),由正弦函 数的性质可知α+β∈ 0, π 6( )∪ 5π 6 ,π( )。 又因为cosα= 3 5∈ 1 2 ,2 2 æ è ç ö ø ÷,所以α∈ π 4 ,π 3( ),所以α+β∈ 5π 6 ,π( ),所以cos(α+ β)=- 1-sin2(α+β)=- 12 13 。 所以cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)· cosα+sin(α+β)sinα=- 12 13× 3 5+ 5 13× 4 5=- 16 65 。 三、紧扣函数名称,尝试“变名”,求三角 函