4.3.2 半角公式 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

LLL3.2　半角公式 课程内容标准 学科素养凝练 能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想. 在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 半角公式 　sin eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,2))，cos eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cos α,2))， tan eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α)． 以上5个有关半角三角函数的公式，称之为半角公式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若α≠kπ，k∈Z，则tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α)恒成立．(√) (2)sin2 eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2).(×) 2．(教材P157练习1改编)若cos α＝eq \f(1,3)，且α∈(0，π)，则sin eq \f(α,2)的值为(　B　) A．－eq \f(\r(3),3)　　　 B．eq \f(\r(3),3)　　　 C．eq \f(\r(6),3)　　　 D．－eq \f(\r(6),3) 3．已知cos α＝eq \f(2,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则coseq \f(α,2)的值为(　B　) A．eq \f(\r(6),6) B．eq \f(\r(30),6) C．－eq \f(\r(6),6) D．－eq \f(\r(30),6) 探究一　应用半角公式求值 [知能解读]　利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α)，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,2)，cos2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2)计算． (4)下结论：结合(2)求值． 已知cos α＝eq \f(1,3)，α为第四象限角，求sin eq \f(α,2)、cos eq \f(α,2)、tan eq \f(α,2)． 解　sin eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,2))＝± eq \r(\f(1－\f(1,3),2))＝±eq \f(\r(3),3)， cos eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cos α,2))＝± eq \r(\f(1＋\f(1,3),2))＝±eq \f(\r(6),3)， tan eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))＝±eq \r(\f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3)))＝±eq \f(\r(2),2)． ∵α为第四象限角，∴eq \f(α,2)为第二或第四象限角． 当eq \f(α,2)为第二象限角时， sineq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，coseq \f(α,2)＝－eq \f(\r(6),3)，taneq \f(α,2)＝－eq \f(\r(2),2)； 当eq \f(α,2)为第四象限角时， sineq \f(α,2)＝－eq \f(\r(3),3)，coseq \f(α,2)＝eq \f(\r(6),3)，taneq \f(α,2)＝－eq \f(\r(2),2)． [方法总结]　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan eq \f(θ,2)，还要注意运用公式tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin θ,1＋cos θ)＝eq \f(1－cos θ,sin θ)来求值． [训练1]　已知sin θ＝eq \f(4,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，求cos eq \f(θ,2)和tan eq \f(θ,2)． 解　∵sin θ＝eq \f(4,5)，eq \f(5π,2)<θ<3π， ∴cos θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(3,5)． 由cos θ＝2cos2eq \f(θ,2)－1得cos2eq \f(θ,