探析角的变换的四个原则-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■刘长柏 三角函数的求值、化简与证明中,角的变 换是关键,其核心是探寻条件角和结论角之 间的关系,利用已知角构造出所求角,然后利 用和差角公式求解。 一、“特殊角”原则 “特殊角”原则,就是将非特殊角转化为 特殊角的和(差)角、倍(半)角的形式,然后利 用有关公式进行求解。 例1 不查表求值: 2cos80°-sin70° cos70° 。 解:原 式= 2cos(60°+20°)-sin(90°-20°) cos(90°-20°) = 2(cos60°cos20°-sin60°sin20°)-cos20° sin20° = - 3sin20° sin20° =- 3 。 二、“已知角”原则 “已知角”原则,就是将所求角(目标角) 表示成已知角的表达式,即将未知转化为已 知,然后利用相关公式加以解决。 例2 若cos(α+β)= 3 5 ,sinβ- π 4( )= 5 13 ,且α,β∈ 0, π 2( ),则cosα+ π 4( )= 。 解:因为(α+β)-β- π 4( )=α+ π 4 ,所以 cos α+ π 4( ) = cos (α+β)-β- π 4( )[ ] = cos(α+β)cosβ- π 4( )+sin(α+β)sinβ- π 4( )。 由α,β∈ 0, π 2( ),可 得0<α+β<π, - π 4<β- π 4< π 4 ,所以sin(α+β)= 4 5 , cosβ- π 4( )= 12 13 。 所 以 cos α+ π 4( ) = cos (α+β)- é ë êê β- π 4( ) ]= 3 5× 12 13+ 4 5× 5 13= 56 65 。 三、“目标角”原则 同“已知角”原则相反,也就是“目标角” 不动,将“已知角”用“目标角”(所求角)表示 出来,然后利用有关公式对已知条件进行变 形或化简,从而得到所求结果。 例3 已知cos(α+β)= 1 5 ,cos(α-β)= 3 5 ,则tanαtanβ的值为 。 解:因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinα· sinβ= 1 5 ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = 3 5 ,所以sinαsinβ= 1 5 ,cosαcosβ= 2 5 ,两 式相除可得tanαtanβ= 1 5 2 5 = 1 2 。 四、“两边夹”原则 “两边夹”原则,就是从两边出发,将已知 条件和目标式子分别化简(变形)为“相同角” 的三角函数式,然后利用有关公式加以解决。 例4 已知sinα+ π 3( )+sinα=- 43 5 , 且- π 2<α<0 ,则cosα+ 2π 3( )= 。 解:由题意可得sinαcos π 3+cosαsin π 3 +sinα=- 43 5 ,即3 2sinα+ 3 2cosα=- 4 5 , 所以cosπ3-α( )=- 4 5 。所以cosα+ 2π 3( )= cos π+α- π 3( )[ ] = - cos α- π 3( ) = -cos π3-α( )= 4 5 。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 01 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 三角恒等变换包含三角函数的求值、化 简和证明。下面归纳几种三角恒等变换的解 题策略,帮助同学们灵活运用数学思想解决 三角恒等变换问题。 策略一:变角 例1 求值: sin7°+cos15°sin8° cos7°-sin15°sin8° 。 解:原 式 = sin(15°-8°)+cos15°sin8° cos(15°-8°)-sin15°sin8° = sin15°cos8° cos15°cos8°=tan15°=tan (45°-30°)= tan45°-tan30° 1+tan45°tan30°= 3- 3 3+ 3 =2- 3。 评析:三角恒等变换离不开角的变换,仔 细分析条件与结论之间的角的差异,找出它 们之间的相互关系,往往是解题的突破口。 策略二:变幂 例 2 求 函 数 f (x ) = sin4x+cos4x+sin2xcos2x 2-sin2x 的图像的对称轴 方程和对称中心。 解:由题意可得函数f(x) = (sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x 2-2sinxcosx = 1-sin2xcos2x 2(1-sinxcosx) = 1 2 (1+sinxcosx) = 1 4sin2x+ 1 2 。 由2x=kπ+ π 2 (k∈Z),可得x= kπ 2+ π 4 (k∈Z)为函数图像的对称轴方程。由 2x=kπ(k∈Z),即x= kπ 2 (k∈Z),可知点 kπ 2