三角恒等变换中热门题型攻略-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■孙建国 纵观近几年的高考试题,对于三角恒等 变换的考查,素来是命题的热点,命题的形式 有选择题、填空题或解答题,主要考查对三角 公式的灵活运用。 题型一:三角恒等变换的求值 例1 已知sin(π-α)= 43 7 ,cos(α-β) = 13 14 ,0<β<α< π 2 。求 sinα+ π 3( ) 和β 的值。 解:由sin(π-α)=sinα= 43 7 ,0<α< π 2 , 可 得 cosα = 1-sin2α = 1 7 ,所 以 sinα+ π 3( )=sinαcos π 3+cosαsin π 3= 53 14 。 由0<β<α< π 2 ,可得0<α-β< π 2 。由 于cos(α-β)= 13 14 ,所以sin(α-β)= 33 14 ,所 以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β) +sinαsin(α-β)= 1 2 。又因为0<β< π 2 ,所 以β= π 3 。 攻略:本题是通过求角的某种三角函数 值来求角的,在选取函数时,有以下原则:已 知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函 数值,选 正 弦 或 余 弦 函 数,若 角 的 范 围 是 0, π 2( ),选正、余弦皆可,若角的范围是(0, π),选余弦较好,若角的范围是 - π 2 ,π 2( ),选 正弦较好。 题型二:三角恒等变换的综合应用 例2 已知函数f(x)=sin2x+sinx· cosx,且x∈ 0, π 2[ ]。 (1)求函数f(x)的值域。 (2)若f(α)= 5 6 ,求sin2α的值。 解:(1)函数f(x)=sin2x+sinxcosx= 1-cos2x 2 + sin2x 2 = 2 2sin2x- π 4( )+ 1 2 。 因 为 x ∈ 0, π 2[ ],所 以 2x - π 4 ∈ - π 4 ,3π 4[ ]。 当2x- π 4=- π 4 ,即x=0时,f(x)有最 小值0;当2x- π 4= π 2 ,即x= 3π 8 时,f(x)有 最大值 2+1 2 。故f(x)值域为 0, 2+1 2 é ë êê ù û úú。 (2)由f(α)= 2 2sin2α- π 4( )+ 1 2= 5 6 , 可得sin2α- π 4( )= 2 3 。 因 为 α∈ 0, π 2[ ],所 以 2α- π 4 ∈ - π 4 ,3π 4[ ]。又因为0<sin2α- π 4( )= 2 3< 2 2 ,所以2α- π 4∈ 0 ,π 4( ),所以cos 2α-æ è ç π 4 )= 1-sin 2 2α- π 4( ) = 7 3 。 所以sin2α=sin2α- π 4+ π 4( )= 2 2 · sin2α- π 4( )+cos2α- π 4( )[ ]= 2+ 14 6 。 攻略:解决三角恒等变换综合问题的关 键是利用辅助角公式,构造函数 f(x)= a2+b2sin(x+φ)(其中φ 为辅助角),再利 用三角函数的性质求解。 作者单位:江苏省太仓高级中学 (责任编辑 郭正华) 42 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2021年6月 $