三角恒等变换中的误区警示-《中学生数理化》高一使用2021年6月刊

■黄林平 三角恒等变换中的公式多且方法灵活, 突出对思维的灵活性和严密性的考查,但解 题时稍有不慎,便会出现增解、漏解,甚至错 解的情况。下面举例分析三角恒等变换中的 解题误区,希望引起同学们的高度警示。 警示1:应用诱导公式 k 2π+α (k∈Z)忽 略分类意识 例1 化简:sin4n-14 π-α( )+cos 4n+1 4 π( -αö ø ÷(n∈Z)。 错解:原式=sinnπ- π4+α( )[ ]+cos nπ+é ë êê π 4-α( ) ] =sin π 4+α( ) -cos π 4-α( ) = sin π2- π 4-α( )[ ]-cos π 4-α( )=cos π 4-( αö ø ÷-cosπ4-α( )=0。 辨析:上述解法对三角函数的诱导公式 应用出错,没有对n分奇偶数进行讨论。 正 解:原 式 =sin nπ- π4+α( )[ ] + cosnπ+ π4-α( )[ ]。 当n=2k+1(k∈Z)时,原式=sin 2kπ+é ë êê π- π4+α( ) ] +cos 2kπ+π+ π 4-α( )[ ] = sin π4+α( ) -cos π 4-α( ) =cos π 4-α( ) - cosπ4-α( )=0;当n=2k(k∈Z)时,原式= sin2kπ- π4+α( )[ ]+cos2kπ+ π 4-α( )[ ]= -sin π4+α( )+cos π 4-α( )=0。 综上可得,原式=0。 警示:三角函数诱导公式 k 2π+α ,k∈Z( ) 的 本质是:奇变偶不变(对k 而言,指k 取奇数 或偶数),符号看象限(把α看成是锐角时,整 体角所在的象限就是原函数的取值符号);当 整体角无法确定象限时,一定要对整数k 分 奇偶数进行讨论。 警示2:给值求角中选用三角函数名称 不当 例2 若sinα= 5 5 ,sinβ= 10 10 ,且α,β 均为锐角,求α+β的值。 错解:因为α,β 均为锐角,所以cosα= 1-sin2α = 25 5 ,cosβ= 1-sin2β = 3 10 10 ,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosα· sinβ= 2 2 。又0°<α<90°,0°<β<90°,所以 0°<α+β<180°,故α+β=45°或α+β= 135°。 辨析:因为y=cosx 在 0,π[ ] 上是单调 函数,y=sinx 在 0,π[ ] 上不是单调函数,所 以利用余弦函数求α+β的值不会产生增解。 正解:因为α,β 均为锐角,所以cosα= 1-sin2α = 25 5 ,cosβ= 1-sin2β = 3 10 10 ,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinα· sinβ= 2 2 。又0°<α<90°,0°<β<90°,所以 0°<α+β<180°,故α+β=45°。 警示:在给值求角时,要选择一个合适的 三角函数,再根据题设确定角的范围,最后利 用三角函数的单调性求角。这里确定角的范 围是关键,必须使所选的函数在该范围内是 单调函数。在选择三角函数时,已知正切函 数值,选正切函数;已知正余弦函数值,当角 在区间(0,π)时,一般选余弦函数,当角在区 间 - π 2 ,π 2( ) 时,一般选正弦函数。 警示3:忽视三角函数的值对角的影响 例3 已知tan(α-β)= 1 2 ,tanβ= 12 数学部分·易错题归类剖析 高一使用 2021年6月 - 1 7 ,且α∈(0,π),β∈(0,π),求2α-β 的 值。 错解:由tan(α-β)= 1 2 ,tanβ=- 1 7 ,容 易得 到 tanα=tan[(α-β)+β]= 1 3 , tan2α= 2tanα 1-tan2α= 3 4 ,据此可得tan(2α-β) =1。又因为α∈(0,π),β∈(0,π),所以2α- β∈(-π,2π),所以2α-β=- 3π 4 或2α-β= π 4 或2α-β= 5π 4 。 辨析:上述解法在求2α-β的范围时,只 是依据了题目所给的α∈(0,π)和β∈(0,π), 而忽视了三角函数的值对其角的范围的进一 步缩小。 正解:由tan(α-β)= 1 2 ,tanβ=- 1 7 ,容 易得 到 tanα=tan[(α-β)+β]= 1 3 , tan2α= 2tanα 1-tan2α= 3 4 ,据此可得tan(2α-β) =1。 因为tanα= 1 3<1 ,又α∈(0,π),所以 0<α< π 4 ,即 0<2α< π 2 。因 为tanβ= - 1 7<0 ,又β∈(0,π),所以β∈ π 2 ,π( ),所以 2α-β∈(-π,0),所以2α-β=- 3π