三角恒等变换中的三个小技巧-《中学生数理化》高一使用2021年6月刊

■杜海洋 三角恒等变换是学好三角函数的基础知 识,是解答三角函数问题必备的基本功。下 面就三角恒等变换中的三个小技巧,举例说 明,以飨读者。 一、角变换的技巧 角变换的解题思路是:观察问题中角之 间的关系,把未知角分解成已知角的和、差、 倍、半角,然后利用相应的公式求解。 例1 若α,β∈(0,π),cosα-β2( )= - 12 13 ,sinα2-β( )= 4 5 ,则sin α+β 2 = 。 由α,β∈(0,π),可 得 α 2 , β 2∈ 0 ,π 2( ),所以α- β 2∈ - π 2 ,π( ), α 2- β∈ -π, π 2( )。 由cosα-β2( )<0,sin α 2-β( )>0,可得 α-β2∈ π 2 ,π( ), α 2-β∈ 0 ,π 2( )。 所以sinα-β2( )= 1-cos 2 α-β2( ) = 5 13 ,cosα2-β( )= 1-sin 2 α 2-β( ) = 3 5 。 故sin α+β 2 =sin α- β 2( )- α 2-β( )[ ]= sin α-β2( )cos α 2-β( ) -cos α- β 2( ) · sinα2-β( )= 63 65 。 善于发现所求的角与已 知条件的角的联系,是有效进 行角变换的前提。常用的角变换关系有:α= (α+β)-β,α=(α-β)+β,2α+β=2(α+β) -β,2α-β=2(α-β)+β,75°=45°+30°,α= 2· α 2 ,α= 1 2 [(α+β)+(α-β)],β= 1 2 [(α+ β)-(α-β)]等。 二、辅助角变换的技巧 通常把asinx+bcosx= a2+b2 · sin(x+φ)叫作辅助角公式(也叫化一公式), 其中φ由tanφ= b a 所确定。特别地,当a b= ±1,± 3,± 3 3 时,要熟记其变换形式,如 sinx+cosx= 2sin x+ π 4( ),3sinx- cosx=2sinx- π 6( ) 等。 例2 已知函数f(x)=sinx+acosx 的图 像 的 一 条 对 称 轴 是 x= 5π 3 ,则 函 数 g(x)=asinx+cosx 的最大值是( )。 A. 22 3 B. 23 3 C. 4 3 D. 26 3 函数f(x)=sinx+acosx = a2+1sin(x+φ),其中φ 由 cosφ= 1 1+a2 所确定。 由x= 5π 3 为函数f(x)图像的一条对称轴, 可得 5π 3+φ=kπ+ π 2 (k∈Z),即φ=kπ- 7π 6 (k∈Z)。 由cosφ= 1 1+a2 >0,可取φ=- π 6 ,则 cos- π 6( )= 1 1+a2 ,所以 a2+1= 23 3 。 因为g(x)= a2+1sin(x+φ),其中φ 由cosφ= a 1+a2 所确定,所以g(x)max= a2+1= 23 3 。应选B。 其实,由asinx+bcosx =a sinx+ b acosx( ) ,可 设 6 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 $