三角恒等变换中的角変换-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

2021-06-23
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教辅
中学生数理化高中版编辑部
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高一
章节 -
类型 素材
知识点 三角函数与解三角形
使用场景 其他
学年 2021-2022
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 676 KB
发布时间 2021-06-23
更新时间 2023-04-09
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高一使用
审核时间 2021-06-23
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/29199659.html
价格 1.00储值(1储值=1元)
来源 学科网

内容正文:

􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂 b a=tanφ ,再进行“切化弦”变换,也可得到辅 助角公式。 三、整体换元的技巧 在三角恒等变换中,也可把一个代数式整 体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可 以明确地设出来,如令t=sinx-cosx。 例3 求函数y=sinx+sin2x-cosx (x∈R)的值域。 令sinx-cosx=t,则t= 2sinx- π 4( ),t∈[- 2,2]。 因为sin2x=1-(sinx-cosx)2=1- t2,所 以 函 数 y=g(t)=t+1-t2 = -t- 1 2( ) 2 + 5 4 。据 此 可 得 当 t= 1 2 时, ymax= 5 4 ;当t=- 2时,ymin=- 2-1。 故此函数的值域为 - 2-1, 5 4[ ]。 整体视为一个“元”的本 质为消元策略,但要注意新元 的取值范围。 作者单位:四川省成都经济技术开发区 实验中学校 (责任编辑 郭正华) ■胡 彬 三角恒等变换中的角变换方法很多,如 拆角,整角与半角之间的转换,多个倍角之间 的转换等。下面就三角恒等变换中的角变 换,通过举例分析,帮助同学们掌握这些常用 的解题方法。 方法一:学会拆角 例1 已知cosα-β2( )=- 1 9 ,sinα2-( β ö ø ÷= 2 3 ,且π 2<α<π ,0<β< π 2 ,求cos(α+ β)的值。 分析:由于 α-β2( )- α 2-β( )= α+β 2 是 一个在三角恒等变换中常见的拆角形式,故 可利用差角公式求出 α+β 2 的余弦值,再利用 二倍角公式求出cos(α+β)的值。 解:由π 2<α<π ,0<β< π 2 ,可得π 4< α 2< π 2 ,- π 4<- β 2<0 ,所以π 4<α- β 2<π , 0< α 2-β< π 2 。因为cosα-β2( )=- 1 9 , sinα2-β( ) = 2 3 ,所 以 sin α-β2( ) = 1-cos2 α-β2( ) = 1- - 1 9( ) 2 = 45 9 , cosα2-β( )= 1-sin 2 α 2-β( ) = 1- 2 3( ) 2 = 5 3 ,所以cos α+β 2 =cos α- β 2( )- α 2-([ β ö ø ÷ ù û úú=cosα-β2( )cos α 2-β( )+sinα- β 2( )· sinα2-β( )=- 1 9× 5 3+ 45 9 × 2 3= 75 27 。 故cos(α+β)=2cos2 α+β 2( )-1=2× 75 27 æ è ç ö ø ÷ 2 -1=- 239 729 。 说明:三角恒等变换的关键是角的变换, 如题中 α-β2( )- α 2-β( )= α+β 2 就是角变 换的关键。解题时,求出α-β2 和 α 2-β 的取 值 范 围,就 容 易 得 到 sin α-β2( ) 和 cosα2-β( ) 的值,为求cos α+β 2 的值铺平了 道路。 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 方法二:学会把整角转化为半角 例2 化简: (sinα+cosα-1)(sinα-cosα+1) sin2α 。 分析:对角进行转化,为约分创造条件。 解 法 1: 原 式 = 2sin α 2cos α 2-2sin 2α 2( ) 2sin α 2cos α 2+2sin 2α 2( ) 4sin α 2cos α 2cosα = sin α 2 cos α 2-sin α 2( ) cos α 2+sin α 2( ) cos α 2cosα = sin α 2 cos 2α 2-sin 2α 2( ) cos α 2cosα = sin α 2cosα cos α 2cosα =tan α 2 。 解法2:原式= sin2α-(cosα-1)2 sin2α = sin2α-cos2α+2cosα-1 sin2α = 2cosα-2cos2α 2sinαcosα = 1-cosα sinα =tan α 2 。 说明:解法1利用二倍角公式,将分子、 分母的整角α 转化为半角 α 2 的三角函数,为 约分创造了条件;解法2是利用平方差公式 和 半 角 的 正 切 公 式tan α 2 = 1-cosα sinα = sinα 1+cosα 求解的。 方法三:学会逐次变换角 例 3 求 证: 3-4cos2A+cos4A 3+4cos2A+cos4A = tan4A。 分析:观察等

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