内容正文:
b
a=tanφ
,再进行“切化弦”变换,也可得到辅
助角公式。
三、整体换元的技巧
在三角恒等变换中,也可把一个代数式整
体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可
以明确地设出来,如令t=sinx-cosx。
例3 求函数y=sinx+sin2x-cosx
(x∈R)的值域。
令sinx-cosx=t,则t=
2sinx-
π
4( ),t∈[- 2,2]。
因为sin2x=1-(sinx-cosx)2=1-
t2,所 以 函 数 y=g(t)=t+1-t2 =
-t-
1
2( )
2
+
5
4
。据 此 可 得 当 t=
1
2
时,
ymax=
5
4
;当t=- 2时,ymin=- 2-1。
故此函数的值域为 - 2-1,
5
4[ ]。
整体视为一个“元”的本
质为消元策略,但要注意新元
的取值范围。
作者单位:四川省成都经济技术开发区
实验中学校
(责任编辑 郭正华)
■胡 彬
三角恒等变换中的角变换方法很多,如
拆角,整角与半角之间的转换,多个倍角之间
的转换等。下面就三角恒等变换中的角变
换,通过举例分析,帮助同学们掌握这些常用
的解题方法。
方法一:学会拆角
例1 已知cosα-β2( )=-
1
9
,sinα2-(
β
ö
ø
÷=
2
3
,且π
2<α<π
,0<β<
π
2
,求cos(α+
β)的值。
分析:由于 α-β2( )-
α
2-β( )=
α+β
2
是
一个在三角恒等变换中常见的拆角形式,故
可利用差角公式求出
α+β
2
的余弦值,再利用
二倍角公式求出cos(α+β)的值。
解:由π
2<α<π
,0<β<
π
2
,可得π
4<
α
2<
π
2
,-
π
4<-
β
2<0
,所以π
4<α-
β
2<π
,
0<
α
2-β<
π
2
。因为cosα-β2( )=-
1
9
,
sinα2-β( ) =
2
3
,所 以 sin α-β2( ) =
1-cos2 α-β2( ) = 1- -
1
9( )
2
=
45
9
,
cosα2-β( )= 1-sin
2 α
2-β( ) = 1-
2
3( )
2
=
5
3
,所以cos
α+β
2 =cos α-
β
2( )-
α
2-([
β
ö
ø
÷
ù
û
úú=cosα-β2( )cos
α
2-β( )+sinα-
β
2( )·
sinα2-β( )=-
1
9×
5
3+
45
9 ×
2
3=
75
27
。
故cos(α+β)=2cos2
α+β
2( )-1=2×
75
27
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
-1=-
239
729
。
说明:三角恒等变换的关键是角的变换,
如题中 α-β2( )-
α
2-β( )=
α+β
2
就是角变
换的关键。解题时,求出α-β2
和
α
2-β
的取
值 范 围,就 容 易 得 到 sin α-β2( ) 和
cosα2-β( ) 的值,为求cos
α+β
2
的值铺平了
道路。
7
数学部分·知识结构与拓展
高一使用 2021年6月
方法二:学会把整角转化为半角
例2 化简:
(sinα+cosα-1)(sinα-cosα+1)
sin2α
。
分析:对角进行转化,为约分创造条件。
解 法 1: 原 式 =
2sin
α
2cos
α
2-2sin
2α
2( ) 2sin
α
2cos
α
2+2sin
2α
2( )
4sin
α
2cos
α
2cosα
=
sin
α
2 cos
α
2-sin
α
2( ) cos
α
2+sin
α
2( )
cos
α
2cosα
=
sin
α
2 cos
2α
2-sin
2α
2( )
cos
α
2cosα
=
sin
α
2cosα
cos
α
2cosα
=tan
α
2
。
解法2:原式=
sin2α-(cosα-1)2
sin2α
=
sin2α-cos2α+2cosα-1
sin2α
=
2cosα-2cos2α
2sinαcosα
=
1-cosα
sinα =tan
α
2
。
说明:解法1利用二倍角公式,将分子、
分母的整角α 转化为半角
α
2
的三角函数,为
约分创造了条件;解法2是利用平方差公式
和 半 角 的 正 切 公 式tan
α
2 =
1-cosα
sinα =
sinα
1+cosα
求解的。
方法三:学会逐次变换角
例 3 求 证:
3-4cos2A+cos4A
3+4cos2A+cos4A =
tan4A。
分析:观察等