三角恒等变换常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■张文伟 三角恒等变换是高中数学的重要内容, 也是高考的必考内容。三角恒等变换的公式 多,如“同角三角函数的基本关系式”“正弦、 余弦、正切的诱导公式”“两角和与差的正弦、 余弦、正切公式”“二倍角的正弦、余弦、正切 公式”等,同学们要熟练掌握这些公式的正 用、逆用和变形应用,要掌握三角恒等变换的 解题规律和解题技巧。下面举例解读这部分 的常见典型考题,供同学们学习与参考。 题型一:三角函数公式的应用 利用三角函数公式应注意的三点:(1)要 注意公式的结构特点和符号变化规律,如两 角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相 反”;(2)要注意同角三角函数基本关系、诱导 公式的综合应用;(3)要注意配方法、因式分 解和整体代换思想的应用。 例1 已知sinα= 1 3+cosα ,且α∈ 0,æ è ç π 2 ),则 cos2α sinα+ π 4( ) 的值为( )。 A.- 2 3 B. 2 3 C.- 1 3 D. 1 3 解:由题意可得sinα-cosα= 1 3 。所以 原式= cos2α-sin2α sinαcos π 4+cosαsin π 4 = 2(cosα- sinα)=- 2 3 。应选A。 跟踪训练1:已知直线y=2x 绕原点按 顺时针方向旋转45°得到直线l,若直线l的 倾斜角为α,则cos2α的值为( )。 A. 8+ 10 10 B. 8- 10 10 C.- 4 5 D. 4 5 提示:设直线y=2x 的倾斜角为β,则 tanβ=2,α=β-45°,所以tanα=tan(β- 45°)= tanβ-tan45° 1+tan45°tanβ = 1 3 ,所以cos2α= cos2α-sin2α= 1-tan2α 1+tan2α= 4 5 。应选D。 题型二:三角函数公式的逆用与变形应用 三角函数公式逆用与变形应用要注意的 问题:(1)注意公式成立的条件和角之间的关 系;(2)注意特殊角的应用,当式子中出现 1 2 , 1, 3 2 ,3等数值时,一定要考虑引入特殊角, 以便构造适合公式的形式。 例2 在△ABC 中,若tanAtanB= tanA+tanB+1,则cosC 的值为( )。 A.- 2 2 B. 2 2 C. 1 2 D.- 1 2 解:由tanAtanB=tanA+tanB+1,可 得 tanA+tanB 1-tanAtanB=-1 ,即tan(A+B)= -1。因为A+B∈(0,π),所以A+B= 3π 4 , 则C= π 4 。故cosC= 2 2 。应选B。 跟 踪 训 练 2:已 知 sin2α = 1 3 ,则 cos2 α- π 4( )=( )。 A.- 1 3 B. 1 3 C.- 2 3 D. 2 3 提示:cos2 α- π 4( )= 1+cos2α- π 2( ) 2 = 1 2+ 1 2sin2α= 1 2+ 1 2× 1 3= 2 3 。应选D。 72 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2021年6月 题型三:三角函数中的变“角” 三角函数的角变换时,要明确各个角之 间的关系,如非特殊角与特殊角、已知角与未 知角的关系,熟悉角的变换技巧及半角与倍 角的相互转化,如2α=(α+β)+(α-β),α= (α+β)-β= (α-β)+β, π 4+α( ) + π 4-α( )= π 2 ,α 2=2× α 4 。 例3 已知α,β∈ 3π 4 ,π( ),sin(α+β)= - 3 5 ,sinβ- π 4( ) = 24 25 ,则 cosα+ π 4( ) = 。 解:由题意知α+β∈ 3π 2 ,2π( )。由sin(α +β)=- 3 5 ,可得cos(α+β)= 4 5 。因为β- π 4 ∈ π 2 ,3π 4( ),sin β- π 4( ) = 24 25 ,所 以 cosβ- π 4( ) = - 7 25 ,则 cos α+ π 4( ) = cos (α+β)-β- π 4( )[ ] =cos(α +β)· cosβ- π 4( )+sin(α+β)sinβ- π 4( )=- 4 5 。 跟踪训练3:若tan(α+2β)=2,tanβ= -3,则tan(α+β)= ,tanα= 。 提示:因为tan(α+2β)=2,tanβ=-3, 所以 tan(α+β)=tan(α+2β-β)= tan(α+2β)-tanβ 1+tan(α+2β)tanβ =-1。 同理 可 得tanα=tan(α+β-β)= tan(α+β)-tanβ 1+tan(α+β)tanβ = 1 2 。 题型四:三角函数中的变“名