【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-2星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-2星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 金字塔和沙漏模型 C 1.能够准确理解金字塔和沙漏模型 2.能够用相似模型解决复杂的几何问题 少考 知识提要 金字塔和沙漏模型 · 金字塔模型       · 沙漏模型 精选例题 金字塔和沙漏模型 1. 如图， 中，，， 互相平行，，则  ． 【答案】     【分析】    设 份，根据面积比等于相似比的平方， 所以 ，，因此 份， 份，进而有 份， 份，所以 ． 2. 如下图所示，将边长 厘米和 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    给图中标上字母，如下图． 根据沙漏模型 ． 所以 ． ． 3. 如图， 中，，， 与 平行， 的面积是 平方厘米．那么 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    因为 ，， 与 平行， 根据相似模型可知 ，， 平方厘米，则 平方厘米，又因为 ，所以 ． 4. 如图，四边形 和 都是平行四边形，四边形 的面积是 ，，则四边形 的面积  ． 【答案】     【分析】    因为 为平行四边形，所以 ，所以 为平行四边形． ，那么 ，所以 ． 又 ，所以 ，根据沙漏模型，，所以 ． 5. 如图，已知 平行 ，，那么  ． 【答案】     【分析】    由沙漏模型得 ，再由金字塔模型得 ． 6. 图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于 平方厘米，则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    设大、小正方形的边长分别为 厘米、 厘米（），则 所以 若 ，则 不合题意，所以 只能为 或 ．检验可知只有 、 满足题意，所以大、小正方形的边长分别为 厘米和 厘米．根据相似三角形性质， 而 得 所以阴影部分的面积为： 7. 是平行四边形，面积为 平方厘米，、 分别为 、 的中点，则图中阴影部分的面积为  平方厘米． 【答案】     【分析】    方法一：设 、 分别为 、 的中点，连接 、、． 可得 对角线 被 、、 平均分成四段，又 ∥ ，所以 所以 同理可得 所以 于是，阴影部分的面积为 方法二：寻找图中的沙漏， 因此 为 的三等分点， 同理 所以 8. 如图， 平行 ，若 ，那么  ． 【答案】     【分析】    根据金字塔模型 ，， 设 份，则 份， 份，所以 ． 9. 如图， 中，，，，， 互相平行，，则  ． 【答案】     【分析】    设 份，，因此 份，进而有 份，同理有 份， 份， 份． 所以有 10. 在下图中，线段 、 将长方形 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 平方厘米、 平方厘米，且 是 的中点， 是 的中点．请问长方形 的面积是   平方厘米． 【答案】     【分析】    如下图所示，延长 、 交于点 ． 由于 是 的中点，由 ，有 ， 由于 是 中点，那么 ． 由 ，有 ． 所以，， 那么 ． 所以，． 11. 如下图所示，三角形田地中有两条小路 和 ，交叉处为 ．张大伯常走这两条小路，他知道 ，且 ．则两块田地 和 的面积比是  ． 【答案】     【分析】    方法一：如下图所示， 和 为同高三角形，所以面积比等于底边比 ． 过 作 的平行线，交 于 ，则因为 ，所以三角形 和 全等，．又因为 ，所以 和 是 的三等分点，所以 ． 方法二：如下图所示，连接 ，设 ，则 ． 设 ，则有 ，解得 ． 所以 ． 12. 如图，在 中，， 分别是 ， 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是 ，则  ． 【答案】     【分析】    由于 ， 都是中点，则 ，设 为 份，则 为 份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是 份，乙是 份，两个翅膀都是 份，由此可推出 为 份，且每份为 所以 13. 梯形 的面积为 ，， 为 的中点， 的延长线与 交于 ，四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    延长 、 相交于 ． 由于 为 的中点，根据相似三角形性质， 再根据相似三角形性质， 而 所以 又 所以 14. 如图，三角形 的面积为 平方厘米，、、 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为 与 的面积之差，又可以转化为 与 的面积之差． （法一）如图，连接 ． 由于 、、 分别为各边的中点，那么 为平行四边形，且面积为三角形 面积的一半，即 平方厘米；那么 的面积为平行四边形 面积的一半，为 平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于 为三角形 的中位线，长度为 的一半，则 所以 所以 那么 的面积占 面积的 ，所以阴影部分面积为 （法二）如图，连接 ． 根据燕尾定理， 所以 而 所以 那么阴影部分面积为 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： （1）利用面积公式：； （2）利用整体减去部分； （3）利用比例和模型． 15. 已知 中， 平行 ，若 ，且 比 大 ，求 ． 【答案】     【分析】    根据金字塔模型 设 份，则 份， 份， 比 大 份，恰好是 ，所以 ． 16. 如图： 平行 ，，，求 的长度． 【答案】     【分析】    在沙漏模型中，因为 ，所以 ，在金字塔模型中有：，因为 ，，所以 ． 17. 如右图，长方形 中，，，求 的长． 【答案】     【分析】    因为 ，且 ，所以 即 ，所以 ． 18. 如图，正方形 的边长是 ， 点是 的中点，求 的面积． 【答案】    ． 【分析】    连结DE，因为 与 之比是 ，可如图所示设份数，可知 的面积是正方形面积的三分之一，是 ． 19. 如图所示，三角形 中， 与 平行，且 ，求 及 ． 【答案】    ， 【分析】    根据金字塔模型的结论即可直接得出答案． 20. 已知三角形 的面积为 平方厘米， 是 边的三等分点（靠近 点），且 与 平行．请求出三角形 的面积为多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    由金字塔模型知，，设 的面积为 份，则 的面积为 份， 的面积为 份， 的面积为 份，又因为 与 等高，可知 的面积为 份，由此可知 的面积为 平方厘米． 21. 如图所示，正方形 的边长是 ， 点是 的三等分点． 的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    由沙漏模型， 与 等高，面积比为 ，因此 的面积为 ． 22. 如图所示，在正方形 中， 分别是 的中点，已知正方形 的面积为 平方厘米，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由条件知，，则 ，同理，，则 ，由此可得，，阴影部分面积为 平方厘米． 23. 如图， 平行 ，且 ，，，求 的长． 【答案】     【分析】    由金字塔模型得 ，所以 ． 24. 在图中的正方形中，、、 分别是 、、 的中点．请问：三角形 的面积是三角形 面积的几倍？ 【答案】     倍． 【分析】    不妨设正方形的边长是 ，所以 又 、 分别是所在边的中点，所以 ，即 ，由此可见 是 的中位线，有 ，所以 的面积是 的面积等于 的面积减去 的面积，等于 的面积等于 的面积减去 的面积，等于 由此可得， 的面积是 面积的 倍． 25. 如图，平行四边形 的面积是 ．已知 点是 上靠近 点的三等分点，求阴影部分的面积． 【答案】    ． 【分析】    由沙漏模型知，，设 的面积为 份，则 的面积为 份， 的面积为 份， 的面积与 的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为 份，总面积为 ，则一份对应面积为 ，阴影部分占了 份，面积为 ． 26. 如图所示，梯形 的面积是 ，下底长是上底长的 倍，阴影三角形的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    上底与下底的长度比为 ，设 面积是 份，则 与 的面积均为 份， 的面积为 份，总面积为 ，故一份所对应的面积为 ，则 的面积为 ． 27. 下图中正方形的面积为 ，、 分别为 、 的中点，．求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质． 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作 垂直 于 ， 垂直 于 ． 根据相似三角形性质， 又因为 所以 即 所以 28. 如图，正方形 中E是 边的中点， 与 相交于F点，三角形 的面积是 ，那么正方形 的面积是_________． 【答案】     【分析】    左边梯形 ，因为 为 的中点，所以 所以 又因为三角形 的面积是 所以三角形 的面积是 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 而 ，所以 29. 如图，平行四边形 的面积是 与 的交点为 ，那么图中阴影部分面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，设份数可知 为 份， 为 份，阴影部分占 份，面积为 ． 30. 如图，在 中，有长方形 ，、 在 上，、 分别在 、 上， 是 边 的高，交 于 ，， 厘米， 厘米，求长方形的长和宽． 【答案】    长和宽分别是 厘米， 厘米． 【分析】    观察图中有金字塔模型 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以 所以有 设 ，则 ，所以有 解得 因此长方形的长和宽分别是 厘米， 厘米． 31. 如图，测量小玻璃管口径的量具 ， 的长为 厘米， 被分为 等份．如果小玻璃管口 正好对着量具上 等份处（ 平行 ），那么小玻璃管口径 是多大？ 【答案】     厘米． 【分析】    有一个金字塔模型，所以 ，，所以 厘米． 32. 在图中的正方形中，，， 分别是所在边的中点， 的面积是 面积的几倍？ 【答案】     【分析】     连接 ，易知 ，可知 ，且 ，所以 的面积等于 的面积；由 可得 ，所以 ，即 的面积是 面积的 倍． 33. 如图所示，正方形 面积为 ，、 分别是 和 的中点， 与 交于 点， 与 交于 点，那么阴影三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    如下图，延长 、 交于点 ，在沙漏 中，，所以 ，故 ． 如下图，延长 、 交于点 ，在沙漏 中，，所以 ，故 ． 所以 ，故 34. 已知三角形 的面积为 ，， 是 的中点，且 ，交 于 ，求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    已知 ，且 ，可知 ，所以 ，且 ． 又因为 是 的中点，所以 是三角形 的中位线，那么 ，，所以 ，可得 ，所以 ，那么 ． 35. 已知正方形 ，过 的直线分别交 、 的延长线于点 、，且 ，，求正方形 的边长． 【答案】     【分析】    方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有 设正方形的边长为 ，所以有 即 解得 所以正方形的边长为 ． 方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即 解得 36. 图中 是边长为 的正方形，从 到正方形顶点 、 连成一个三角形，已知这个三角形在 上截得的 长度为 ，那么三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    做 垂直 于 ，交 于 ． 因为 ，所以三角形 与三角形 相似，且为 所以 又因为 所以 所以三角形 的面积为 37. 如图， 与 平行，．已知 ，那么 的长度是多少？ 的长度是多少？ 的长度是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，可求出 ，可求出 ． 38. 如图，将一个边长为 的正方形两边长分别延长 和 ，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】     根据相似三角形的对应边成比例有： 则 所以 39. 如图，直角三角形 中，，又知 ，求 的面积． 【答案】    ． 【分析】    由金字塔模型知 则 又知道 可求出 的面积为 40. 如图所示，在三角形 中， 和 平行， 和 平行， 和 平行．已知 ，那么 和 分别是多少？ 【答案】    ，． 【分析】    （1）因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 由上可得 ． （2）因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 因为 ，，所以 ． 又因为 ，所以 ． 由上可得 ． 41. 两盏 米高的路灯相距 米，有一个身高 米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？ 【答案】     【分析】    根据题意画出如图所示的图，延长 与 交于 ，则 和 以及 和 都能组成沙漏三角． 不难看出，． 而在沙漏 中，又有 ． 在沙漏 中，有 ． 由此可知 ，这就是两个影子的总长度． 42. 如图所示， 与 平行，已知 的面积为 ，则四边形 面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，则 是 面积的 ，则 的面积是 ，四边形 的面积为 ． 43. 已知长方形 的面积为 厘米， 是 的中点，、 是 边上的三等分点，求阴影 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】     因为 是 的中点，、 是 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成 份的话，那么 在图形中找到沙漏 ：有 所以 相当于把 分成 份（），同理也可以在图中再次找到沙漏 ， 由此可以推出： 相当于把 分成 份（），那么我们就可以把 分成 份（ 和 的最小公倍数）其中 占 份， 占 份， 占 份，连接 则可知 的面积为 在 为底的三角形中 占 份，则面积为： 44. 如图所示，边长为 厘米和 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由条件知，，由沙漏模型知 ，那么 与 的面积之比也是 的面积为 平方厘米． 45. 如图，三角形 是一块锐角三角形余料，边 毫米，高 毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 、 上，这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】     【分析】    观察图中有金字塔模型 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有 设正方形的边长为 毫米， 即 解得 即正方形的边长为 毫米． 46. 如下图，正方形 的面积为 ， 是 边的中点， 是 边上的两点，且 ．连接 分别交 分别于 ．求四边形 的面积． 【答案】     【分析】     过 点做 平行于 交 于 ，过 点做 交 于 ，则因为 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 因为 为 边上三等分点，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 因此， 47. 如图，已知在平行四边形 中，，，，那么 的长度是多少？ 【答案】     【分析】    图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 平行于 ，所以 ，所以 ． 48. 如图所示，梯形的面积是 平方厘米，下底是上底的 倍，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    上底与下底之比为 ，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是 ，那么阴影部分的面积是 49. 如图所示，在直角三角形 中， 的长 厘米， 的长 厘米， 的长 厘米，有一只小虫从 点出发，沿 以 厘米/秒的速度向 爬行；另一只小虫从 点出发，沿 以 厘米/秒的速度向 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形？（请写出所有答案） 【答案】     秒、 秒或 秒． 【分析】    设经过了 秒，则 厘米， 厘米，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形的情况有三种： （1）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 （如图 ）．这个最好算，，，故 ，解得 ； （2）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ，如图 ，从 向 作垂线，垂足为 ，在金字塔 种，，即 ，所以 ．利用 列出方程 ，解得 ；（或者利用 和 相似，得 ，即 ，所以 ） （3）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ，如图 ，从 向 作垂线，垂足为 ，利用 和 相似得 ，即 ，所以 ．利用 列出方程 ，解得 ． 综上，经过 秒或 秒或 秒后，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形． 50. 如图所示， 与 平行，已知 ，则 的长度是多少？ 【答案】    ． 【分析】    由金字塔模型，，则 ． 51. 如图所示，梯形 的上底 长 厘米，下底 长 厘米．如果 与上、下底平行，那么 的长度为多少？ 【答案】     厘米． 【分析】    在沙漏 中，，于是 （如图所示）． 由于 ，因此 ，即 ． 同理， 也等于 厘米，所以 ． 52. 如图，已知 ，点 分别在 上，且 ， 则 是多少？ 【答案】     【分析】     的面积已知，若知道 的面积占 的几分之几就可以计算出 的面积．连接 ． 因为 所以 所以 与 平行，所以 所以 因为 ，，所以 所以 53. 如图所示，图中的两个正方形的边长分别是 和 ，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，那么 与 的面积是 ． 54. 如下图，、、、 均为各边的三等分点，线段 和 把三角形 分成四部分，如果四边形 的面积是 平方厘米，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】     设三角形以 为底的高为 ，由于 所以 所以三角形 以 为底的高是 又因为三角形 以 为底的高是 ，所以三角形 的面积与三角形 的面积之比为 所以三角形 的面积为 而三角形 的面积占三角形 的 ，所以三角形 的面积是 55. 如图， 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 和 ，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接 ， 由已知可得 所以 可以得到 由三角形相似可得阴影部分面积为 56. 如图，长方形 中， 为 的中点， 与 、 分别交于 、， 垂直 于 ，交 于 ，已知 ，，求 ． 【答案】     【分析】    由于 ，利用相似三角形性质可以得到 又因为 为 中点，那么有 所以 利用相似三角形性质可以得到 而 所以 57. 如图所示，已知三角形 的面积为 平方厘米，、 分别是 、 边的中点．求三角形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由 、 分别是 、 边的中点，可知 与 平行，且 ． 如下图所示，沙漏 中，有 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到 那么梯形 的面积就是 由于 的面积为 平方厘米，则 的面积是 平方厘米．而梯形 的面积是 因此 从而 58. 如图所示，平行四边形 与平行四边形 的面积都是 平方厘米．其中 垂直于 于 ，、、 分别长 、、 厘米．求三角形 的面积和周长． 【答案】    面积为 平方厘米，周长为 厘米． 【分析】    平行四边形 的面积等于 由此可以求得 平行四边形 的面积等于 由此可以求得 则 的面积等于 由沙漏模型得 则 所以 的周长为 59. 如图所示，四边形 是平行四边形，面积是 平方厘米，、 分别为边 、 的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    因为 为边 的中点，四边形 是平行四边形，所以 ，且 ． 在沙漏 中，有 ，． 由 可知， 的面积为 面积的 ． 易知 面积为平行四边形 的面积的 ，即 所以 的面积为 由 为边 的中点，同理可求出 的面积为 平方厘米． 由 ， 可知，、 为边 的三等分点． 所以 而 ，所以 于是空白部分面积为 ． 因此阴影部分的面积为 ． 60. 如图所示， 是三角形 内一点， 平行于 ， 平行于 ， 平行于 ，四边形 的面积是 ，四边形 的面积是 ，四边形 的面积是 ．请问：三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比． 考虑平行四边形 和 ，分别以 和 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即 ． 由于 ，所以 ，转化为面积比：得到： 而平行四边形 的面积是 ，则 的面积是 类似的方法可以求出 和 的面积分别是 和 ，因此这三个小三角形的面积分别是 、、，所以大 的面积就是 ． 61. 如图，线段 与 垂直，已知 ，，那么图中阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】    解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看． 作辅助线 ，则图形关于 对称，有 且 设 的面积为 份，则 的面积为 份，直角三角形 的面积为 份．因为 而阴影部分的面积为 份，所以阴影部分的面积为 解法二：连接 、． 由于 所以 ，可知 根据梯形蝴蝶定理， 所以 即 又 所以 62. 如下图所示，点 是平行四边形 的边 上的一点，且 ，四边形 为平行四边形， 与 交于点 ．若三角形 的面积与三角形 的面积之差为 ，求平行四边形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ，因为 ，所以 所以 令 ，则 ，， 所以 因为 ，所以 所以 所以 因为 所以 因为 所以 63. 如图，在长方形 中， 厘米， 厘米，，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    连接 ，在梯形 中，由梯形基本结论知：， 由一半模型得所以 又 ，（平方厘米）又 （平方厘米）所以 （平方厘米） 64. 如图， 是直角梯形，，那么梯形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    分别计算 的面积，再求和． 延长 交 于 点， 可得 所以 又因为 得到 所以 65. 如图，已知正方形 的边长为 ， 是 边的中点， 是 边上的点，且 ， 与 相交于点 ，求 ． 【答案】     【分析】    方法一： 连接 ，延长 ， 两条线交于点 ，构造出两个沙漏，所以有 因此 ，根据题意有 ，再根据另一个沙漏有 所以 方法二： 连接 ，分别求 根据蝴蝶定理 所以 66. 如图，正方形 的面积是 平方厘米， 是 的中点， 是 的中点，四边形 的面积是________平方厘米． 【答案】     【分析】    ，所以 ， 连接 ，设 ，则 ，由燕尾模型知 ，所以 ，又因为 ，所以 ， 67. 已知 为等边三角形，面积为 ，、、 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 ，求阴影五边形的面积．（丙是三角形 ） 【答案】     【分析】    因为 、、 分别为三边的中点，所以 、、 是三角形 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 和三角形 的面积都等于三角形 的一半，即为 ． 根据图形的容斥关系，有 ，即 ，所以 ． 又 ，所以 ． 68. 边长为 厘米和 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为 ，小正方形为 ， 分别交 于 两点， 所以 因为 所以 69. 如图，三角形 的面积是 平方厘米，长方形 的长是 厘米，宽是 厘米， 是 的中点，则三角形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线． 取 的中点 ，连接 ，设 交 于 ． 则三角形 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边 ，可知三角形 的面积等于 所以 那么 因为 是三角形 的中位线，所以 所以三角形 的面积为 70. 如图所示，正六边形的面积是 ，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    方法一：连结阴影部分的对角线，如图 所示． 这条辅助线平分阴影部分，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形．那么每个梯形的面积为 要求出阴影部分的面积，只需求出其中的一半即可． 画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如图 所示， 和 是一对等高三角形，并且底边 是 的 倍，所以 的面积是 面积的 倍，于是 面积为 在沙漏 中，，所以 因此正六边形中的阴影部分面积为 方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如图 所示． 观察图形可知，这时正六边形被分割成 个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影部分由 个三角形组成，所以阴影部分面积为 $