【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-4星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-4星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 金字塔和沙漏模型 C 1.能够准确理解金字塔和沙漏模型 2.能够用相似模型解决复杂的几何问题 少考 知识提要 金字塔和沙漏模型 · 金字塔模型       · 沙漏模型 精选例题 金字塔和沙漏模型 1. 在下图中，线段 、 将长方形 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 平方厘米、 平方厘米，且 是 的中点， 是 的中点．请问长方形 的面积是   平方厘米． 【答案】     【分析】    如下图所示，延长 、 交于点 ． 由于 是 的中点，由 ，有 ， 由于 是 中点，那么 ． 由 ，有 ． 所以，， 那么 ． 所以，． 2. 梯形 的面积为 ，， 为 的中点， 的延长线与 交于 ，四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    延长 、 相交于 ． 由于 为 的中点，根据相似三角形性质， 再根据相似三角形性质， 而 所以 又 所以 3. 如图，在 中，， 分别是 ， 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是 ，则  ． 【答案】     【分析】    由于 ， 都是中点，则 ，设 为 份，则 为 份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是 份，乙是 份，两个翅膀都是 份，由此可推出 为 份，且每份为 所以 4. 如下图所示，三角形田地中有两条小路 和 ，交叉处为 ．张大伯常走这两条小路，他知道 ，且 ．则两块田地 和 的面积比是  ． 【答案】     【分析】    方法一：如下图所示， 和 为同高三角形，所以面积比等于底边比 ． 过 作 的平行线，交 于 ，则因为 ，所以三角形 和 全等，．又因为 ，所以 和 是 的三等分点，所以 ． 方法二：如下图所示，连接 ，设 ，则 ． 设 ，则有 ，解得 ． 所以 ． 5. 正六边形 的面积是 平方厘米， 分别是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是   平方厘米． 【答案】     【分析】    方法一：如下左图，连接 ，过 做 的平行线 ，交 于 ．因为空白的面积等于 面积的 倍，所以关键求 的面积，在 中用燕尾模型时，需要知道 的长度比，根据沙漏模型得 ，再根据金字塔模型得 ，因此 ，在 中，设 份，则 份， 份，所以 ， 因此 ． 方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 个梯形，所以阴影面积为 ． 6. 是平行四边形，面积为 平方厘米，、 分别为 、 的中点，则图中阴影部分的面积为  平方厘米． 【答案】     【分析】    方法一：设 、 分别为 、 的中点，连接 、、． 可得 对角线 被 、、 平均分成四段，又 ∥ ，所以 所以 同理可得 所以 于是，阴影部分的面积为 方法二：寻找图中的沙漏， 因此 为 的三等分点， 同理 所以 7. 图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于 平方厘米，则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    设大、小正方形的边长分别为 厘米、 厘米（），则 所以 若 ，则 不合题意，所以 只能为 或 ．检验可知只有 、 满足题意，所以大、小正方形的边长分别为 厘米和 厘米．根据相似三角形性质， 而 得 所以阴影部分的面积为： 8. 如图，三角形 的面积为 平方厘米，、、 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为 与 的面积之差，又可以转化为 与 的面积之差． （法一）如图，连接 ． 由于 、、 分别为各边的中点，那么 为平行四边形，且面积为三角形 面积的一半，即 平方厘米；那么 的面积为平行四边形 面积的一半，为 平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于 为三角形 的中位线，长度为 的一半，则 所以 所以 那么 的面积占 面积的 ，所以阴影部分面积为 （法二）如图，连接 ． 根据燕尾定理， 所以 而 所以 那么阴影部分面积为 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： （1）利用面积公式：； （2）利用整体减去部分； （3）利用比例和模型． 9. 如图，长方形 中，、 分别为 、 边上的点，，，求 ． 【答案】     【分析】    如图，过 作 的平行线交 于 ． 由于 是 的中点，所以 是 的中点． 由于 所以 根据相似性， 于是 所以 10. 如图所示，正方形 的边长是 ， 点是 的三等分点． 的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    由沙漏模型， 与 等高，面积比为 ，因此 的面积为 ． 11. 下图中正方形的面积为 ，、 分别为 、 的中点，．求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质． 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作 垂直 于 ， 垂直 于 ． 根据相似三角形性质， 又因为 所以 即 所以 12. 如图所示，小高测出家里瓷砖的长为 厘米，宽为 厘米，而且还测出了边上的中间线段均为 厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母（如图所示），同时过 作 于 ， 于 ． 由于 与 平行，所以 因此 由于 与 平行，所以 因此 由此可得菱形的两条对角线分别为： 那么菱形的面积就是 13. 如图所示，梯形 的面积是 ，下底长是上底长的 倍，阴影三角形的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    上底与下底的长度比为 ，设 面积是 份，则 与 的面积均为 份， 的面积为 份，总面积为 ，故一份所对应的面积为 ，则 的面积为 ． 14. 如图所示，梯形的面积是 平方厘米，下底是上底的 倍，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    上底与下底之比为 ，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是 ，那么阴影部分的面积是 15. 如图所示， 与 平行，已知 ，则 的长度是多少？ 【答案】    ． 【分析】    由金字塔模型，，则 ． 16. 如下图所示，三角形 、三角形 、三角形 都是正三角形，其中 ，三角形 的面积是 ．求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    ， 面积是 ，那么 ， 因为 与 的高之比是 ，所以 ，因为 与 平行，所以 ，所以 ． 假设 为 份，那么 ，又知道 ，所以 ，所以 ，所以 ，又有 ，所以 ，于是可求阴影部分面积是 ． 17. 如图所示， 与 平行，已知 的面积为 ，则四边形 面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，则 是 面积的 ，则 的面积是 ，四边形 的面积为 ． 18. 如图所示，图中的两个正方形的边长分别是 和 ，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，那么 与 的面积是 ． 19. 在图中的正方形中，、、 分别是 、、 的中点．请问：三角形 的面积是三角形 面积的几倍？ 【答案】     倍． 【分析】    不妨设正方形的边长是 ，所以 又 、 分别是所在边的中点，所以 ，即 ，由此可见 是 的中位线，有 ，所以 的面积是 的面积等于 的面积减去 的面积，等于 的面积等于 的面积减去 的面积，等于 由此可得， 的面积是 面积的 倍． 20. 如图所示，正方形 面积为 ，、 分别是 和 的中点， 与 交于 点， 与 交于 点，那么阴影三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    如下图，延长 、 交于点 ，在沙漏 中，，所以 ，故 ． 如下图，延长 、 交于点 ，在沙漏 中，，所以 ，故 ． 所以 ，故 21. 如图， 为正方形， 且 ，请问四边形 的面积为多少？ 【答案】     【分析】    （法 ）由 ，有 所以 又 所以 所以 所以 占 的 ，得到 （法 ）如图， 连结 ，则 而 所以 而 因为 所以 则 阴影部分面积等于 22. 已知长方形 的面积为 厘米， 是 的中点，、 是 边上的三等分点，求阴影 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】     因为 是 的中点，、 是 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成 份的话，那么 在图形中找到沙漏 ：有 所以 相当于把 分成 份（），同理也可以在图中再次找到沙漏 ， 由此可以推出： 相当于把 分成 份（），那么我们就可以把 分成 份（ 和 的最小公倍数）其中 占 份， 占 份， 占 份，连接 则可知 的面积为 在 为底的三角形中 占 份，则面积为： 23. 如图，直角三角形 中，，又知 ，求 的面积． 【答案】    ． 【分析】    由金字塔模型知 则 又知道 可求出 的面积为 24. 如图所示， 是长方形 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 和 ，那么阴影直角三角形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由 可知 ．而 与 从 出发的高相同，则 ． 由于 ，把线段的比例转移到 上，则有 ，从而得到 ，所以阴影 的面积是 面积的 ．于是阴影三角形的面积是 25. 如下图，正方形 的面积为 ， 是 边的中点， 是 边上的两点，且 ．连接 分别交 分别于 ．求四边形 的面积． 【答案】     【分析】     过 点做 平行于 交 于 ，过 点做 交 于 ，则因为 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 因为 为 边上三等分点，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 因此， 26. 如图，已知 ，点 分别在 上，且 ， 则 是多少？ 【答案】     【分析】     的面积已知，若知道 的面积占 的几分之几就可以计算出 的面积．连接 ． 因为 所以 所以 与 平行，所以 所以 因为 ，，所以 所以 27. 如图所示，在正方形 中， 分别是 的中点，已知正方形 的面积为 平方厘米，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由条件知，，则 ，同理，，则 ，由此可得，，阴影部分面积为 平方厘米． 28. 如图， 与 平行，．已知 ，那么 的长度是多少？ 的长度是多少？ 的长度是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，可求出 ，可求出 ． 29. 如图，线段 与 垂直，已知 ，，那么图中阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】    解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看． 作辅助线 ，则图形关于 对称，有 且 设 的面积为 份，则 的面积为 份，直角三角形 的面积为 份．因为 而阴影部分的面积为 份，所以阴影部分的面积为 解法二：连接 、． 由于 所以 ，可知 根据梯形蝴蝶定理， 所以 即 又 所以 30. 如下图，、、、 均为各边的三等分点，线段 和 把三角形 分成四部分，如果四边形 的面积是 平方厘米，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】     设三角形以 为底的高为 ，由于 所以 所以三角形 以 为底的高是 又因为三角形 以 为底的高是 ，所以三角形 的面积与三角形 的面积之比为 所以三角形 的面积为 而三角形 的面积占三角形 的 ，所以三角形 的面积是 31. 已知三角形 的面积为 ，， 是 的中点，且 ，交 于 ，求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    已知 ，且 ，可知 ，所以 ，且 ． 又因为 是 的中点，所以 是三角形 的中位线，那么 ，，所以 ，可得 ，所以 ，那么 ． 32. 如图所示，梯形 的上底 长 厘米，下底 长 厘米．如果 与上、下底平行，那么 的长度为多少？ 【答案】     厘米． 【分析】    在沙漏 中，，于是 （如图所示）． 由于 ，因此 ，即 ． 同理， 也等于 厘米，所以 ． 33. 如图所示，在三角形 中， 和 平行， 和 平行， 和 平行．已知 ，那么 和 分别是多少？ 【答案】    ，． 【分析】    （1）因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 由上可得 ． （2）因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 因为 ，，所以 ． 又因为 ，所以 ． 由上可得 ． 34. 如图，长方形 中， 为 的中点， 与 、 分别交于 、， 垂直 于 ，交 于 ，已知 ，，求 ． 【答案】     【分析】    由于 ，利用相似三角形性质可以得到 又因为 为 中点，那么有 所以 利用相似三角形性质可以得到 而 所以 35. 如图，平行四边形 的面积是 ．已知 点是 上靠近 点的三等分点，求阴影部分的面积． 【答案】    ． 【分析】    由沙漏模型知，，设 的面积为 份，则 的面积为 份， 的面积为 份， 的面积与 的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为 份，总面积为 ，则一份对应面积为 ，阴影部分占了 份，面积为 ． 36. 如图，平行四边形 的面积是 与 的交点为 ，那么图中阴影部分面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，设份数可知 为 份， 为 份，阴影部分占 份，面积为 ． 37. 如图，已知 是 中点， 是 的中点， 是 的中点．三角形 由 ① ～ ⑥ 这 部分组成，其中 ② 比 ⑤ 多 平方厘米．那么三角形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    因为 是 中点， 为 中点，有 且 平行于 ，则四边形 为梯形．在梯形 中有 ，，． 又已知 ，所以 ，，所以 ，而 ，所以 ，梯形 的面积为 ②、③、④、⑤ 四块图形的面积和，为 ． 有 与 的面积比为 平方与 平方的比，即为 ．所以 面积为梯形 面积的 ，即为 ． 因为 是 中点，所以 与 的面积相等，而 的面积为 、 的面积和，即为 ．三角形 的面积为 平方厘米． 38. 已知三角形 的面积为 平方厘米， 是 边的三等分点（靠近 点），且 与 平行．请求出三角形 的面积为多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    由金字塔模型知，，设 的面积为 份，则 的面积为 份， 的面积为 份， 的面积为 份，又因为 与 等高，可知 的面积为 份，由此可知 的面积为 平方厘米． 39. 如图所示，边长为 厘米和 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由条件知，，由沙漏模型知 ，那么 与 的面积之比也是 的面积为 平方厘米． 40. 如图所示，平行四边形 与平行四边形 的面积都是 平方厘米．其中 垂直于 于 ，、、 分别长 、、 厘米．求三角形 的面积和周长． 【答案】    面积为 平方厘米，周长为 厘米． 【分析】    平行四边形 的面积等于 由此可以求得 平行四边形 的面积等于 由此可以求得 则 的面积等于 由沙漏模型得 则 所以 的周长为 41. 如图，已知正方形 的边长为 ， 是 边的中点， 是 边上的点，且 ， 与 相交于点 ，求 ． 【答案】     【分析】    方法一： 连接 ，延长 ， 两条线交于点 ，构造出两个沙漏，所以有 因此 ，根据题意有 ，再根据另一个沙漏有 所以 方法二： 连接 ，分别求 根据蝴蝶定理 所以 42. 如图，正方形 的面积是 平方厘米， 是 的中点， 是 的中点，四边形 的面积是________平方厘米． 【答案】     【分析】    ，所以 ， 连接 ，设 ，则 ，由燕尾模型知 ，所以 ，又因为 ，所以 ， 43. 如图所示，在直角三角形 中， 的长 厘米， 的长 厘米， 的长 厘米，有一只小虫从 点出发，沿 以 厘米/秒的速度向 爬行；另一只小虫从 点出发，沿 以 厘米/秒的速度向 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形？（请写出所有答案） 【答案】     秒、 秒或 秒． 【分析】    设经过了 秒，则 厘米， 厘米，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形的情况有三种： （1）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 （如图 ）．这个最好算，，，故 ，解得 ； （2）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ，如图 ，从 向 作垂线，垂足为 ，在金字塔 种，，即 ，所以 ．利用 列出方程 ，解得 ；（或者利用 和 相似，得 ，即 ，所以 ） （3）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ，如图 ，从 向 作垂线，垂足为 ，利用 和 相似得 ，即 ，所以 ．利用 列出方程 ，解得 ． 综上，经过 秒或 秒或 秒后，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形． 44. 如图所示，已知平行四边形 的面积是 ，、 是 、 的中点， 交 于 ，求 的面积． 【答案】     【分析】    解法一：由题意可得，、 是 、 的中点，得 ，而 所以 并得 、 是 的三等分点，可得 ，所以 所以 又因为 所以 解法二：延长 交 于 ，如下图， 可得， 从而可以确定 的点的位置， 可得 45. 如下图所示，点 是平行四边形 的边 上的一点，且 ，四边形 为平行四边形， 与 交于点 ．若三角形 的面积与三角形 的面积之差为 ，求平行四边形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ，因为 ，所以 所以 令 ，则 ，， 所以 因为 ，所以 所以 所以 因为 所以 因为 所以 46. 如图所示，已知三角形 的面积为 平方厘米，、 分别是 、 边的中点．求三角形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由 、 分别是 、 边的中点，可知 与 平行，且 ． 如下图所示，沙漏 中，有 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到 那么梯形 的面积就是 由于 的面积为 平方厘米，则 的面积是 平方厘米．而梯形 的面积是 因此 从而 47. 边长为 厘米和 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为 ，小正方形为 ， 分别交 于 两点， 所以 因为 所以 48. 如图所示，正六边形的面积是 ，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    方法一：连结阴影部分的对角线，如图 所示． 这条辅助线平分阴影部分，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形．那么每个梯形的面积为 要求出阴影部分的面积，只需求出其中的一半即可． 画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如图 所示， 和 是一对等高三角形，并且底边 是 的 倍，所以 的面积是 面积的 倍，于是 面积为 在沙漏 中，，所以 因此正六边形中的阴影部分面积为 方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如图 所示． 观察图形可知，这时正六边形被分割成 个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影部分由 个三角形组成，所以阴影部分面积为 49. 已知 为等边三角形，面积为 ，、、 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 ，求阴影五边形的面积．（丙是三角形 ） 【答案】     【分析】    因为 、、 分别为三边的中点，所以 、、 是三角形 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 和三角形 的面积都等于三角形 的一半，即为 ． 根据图形的容斥关系，有 ，即 ，所以 ． 又 ，所以 ． 50. 如图所示， 是三角形 内一点， 平行于 ， 平行于 ， 平行于 ，四边形 的面积是 ，四边形 的面积是 ，四边形 的面积是 ．请问：三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比． 考虑平行四边形 和 ，分别以 和 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即 ． 由于 ，所以 ，转化为面积比：得到： 而平行四边形 的面积是 ，则 的面积是 类似的方法可以求出 和 的面积分别是 和 ，因此这三个小三角形的面积分别是 、、，所以大 的面积就是 ． 51. 如图， 是直角梯形，，那么梯形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    分别计算 的面积，再求和． 延长 交 于 点， 可得 所以 又因为 得到 所以 52. 如图，三角形 的面积是 平方厘米，长方形 的长是 厘米，宽是 厘米， 是 的中点，则三角形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线． 取 的中点 ，连接 ，设 交 于 ． 则三角形 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边 ，可知三角形 的面积等于 所以 那么 因为 是三角形 的中位线，所以 所以三角形 的面积为 53. 如图所示，四边形 是平行四边形，面积是 平方厘米，、 分别为边 、 的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    因为 为边 的中点，四边形 是平行四边形，所以 ，且 ． 在沙漏 中，有 ，． 由 可知， 的面积为 面积的 ． 易知 面积为平行四边形 的面积的 ，即 所以 的面积为 由 为边 的中点，同理可求出 的面积为 平方厘米． 由 ， 可知，、 为边 的三等分点． 所以 而 ，所以 于是空白部分面积为 ． 因此阴影部分的面积为 ． $