专题04 公因数与公倍数-2021年小升初数学无忧衔接（沪教版）

《2021年小升初数学无忧衔接（沪教版）》 专题04 公因数与公倍数 【课程解读】 1．理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数的区别； 2．理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法； 3．会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最大公因数、最小公倍数． 【知识衔接】 1、公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数． 2、最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3、两个数互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 4、求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 5、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 6、最小公倍数的求法 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数； 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数． 7、两数的最大公因数与最小公倍数的关系 已知数a和数b，两数的最大公因数为m，最小公倍数为n，则： 【经典题型】 例1：求18和30的最大公因数． 解法1：18的因数有1，2，3，6，9，18 30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30 18和30的公因数有1，2，3，6 最大的公因数是6 解法2：把18和30分别分解素因数 18＝2×3×3 30＝2×3×5 18和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数； 结论：求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的公共素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数 解法3：为了简便，也可以用短除法计算 18和30的最大公因数是2×3＝6 例2求出下列各组数的公因数． （1）14和42； （2）121和44； （3）28和56； （4）17和9． 【难度】★ 【答案】（1）14； （2）11； （3）28； （4）1． 【解析】（1）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数； （2）两个数既不是倍数关系，也不是互素关系，用短除法； （3）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数； （4）两个数互素，最大公因数是1； 例3.指出下列哪组中的两个数互素． （1）3和5； （2）6和9； （3）14和15； （4）18和1． 【难度】★ 【答案】（1）（3）（4）． 【解析】如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 【总结】互素两数的几种常见类型：（1）两个数都是素数；（2）一个素数，一个合数； （3）1和其它的任意正整数． 例4.找出下列各数的公因数与最大公因数． （1）84、28、60； （2）12、16、20． 【难度】★ 【答案】（1）公因数：1、2、4，最大公因数：4； （2）公因数：1、2、4，最大公因数：4． 【解析】（1）因为84=2×2×3×7；28=2×2×7；60=2×2×3×5； 所以公因数：1、2、4，最大公因数：4； （2）因为12=2×2×3；16=2×2×2×2；20=2×2×5； 所以公因数：1、2、4，最大公因数：4； 【总结】本题主要考察公因数和最大公因数的概念． 例5.下列说法中，正确的个数有（ ）个 ①2是4和16的一个公因数； ②12是24和36的最大公因数； ③如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数； ④1和任何正整数互素． A．0 B．1 C．2 D．3 【难度】★★ 【答案】D 【解析】①②④正确；③错误，两个数互素要求两个数只有公因数1． 【总结】常见的两个互素的数有：（1）两个数都是素数；（2）一个素数，一个合数； （3）1和任何正整数；（4）任意两个连续的整数等． 例6.已知都为自然数，且，，那么的最大公因数是多少？ 【难度】★★ 【答案】p 【解析】m是n的倍数，n是p的倍数，因此m是p的倍数；所以最大公因数是p． 【总结】若三个数都是倍数关系，则它们的最大公因数是最小的那个数． 例7.已知两个数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数． 【难度】★★ 【答案】31、168或62、93． 【解析】设这两个数是31a，31b(a、b互素)， 则：31a×31b=5766 ∴ab=6 1 a=1，b=6时，两个数是31、168； ②a=2，b=3时，两个数是62、9