专题04 随机变量及其分布（知识梳理）-2020-2021学年高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）

专题04 随机变量及其分布（知识梳理） 一、重点知识梳理 1、条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条件概率，用符号 来表示，其公式为 ( )。 在古典概型中，若用 表示事件 中基本事件的个数，则 。 (2)条件概率具有的性质：①非负性： ；②规范性： ；③可加性：如果 和 是两个互斥事件，则 。 2、相互独立事件 (1)对于事件 、 ，若 的发生与 的发生互不影响，则称 、 是相互独立事件。 (2)若 与 相互独立，则 ， 。 (3)若 与 相互独立，则 与 、 与 、 与 也都相互独立。 (4)若 ，则 与 相互独立。 特别提醒： (1) “互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系： ①“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系； ②“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响； ③“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥。 (2)条件概率：条件概率通常是指在事件 发生的条件下，事件 发生的概率。 放在总体情况下看：先求 、 ，再求 ，关键是求 和 。 即一种关系：可先定义条件概率 ，当 即 时，事件 与事件 独立。但是要注意事件 、 、 两两独立，但事件 、 、 不一定相互独立。 3、随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件： (1)试验可以在相同的条件下重复进行； (2)试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个，这种试验就是一个随机试验。 4、随机变量：在随机试验中，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。 思考：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。 5、独立重复试验：独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的。 6、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。随机变量通常用大写字母 、 、 等表示，也可以用希腊字母 ， 等表示。 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量。如某林场树木最高达 米，则林场树木的高度 是一个随机变量，它可以取 内的一切值。 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出。 注意：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币， ，表示正面向上， ，表示反面向上。 (2)若 是随机变量， ，( 、 是常数)，则 也是随机变量。 7、离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量 可能取的不同值为 、 、…、 ， 取每一个值 ( 、 、…、 )的概率 ，以表格的形式表示如下： … … … … 此表称为离散型随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列。有时为了表达简单，也用等式 ， 、 、…、 表示 的分布列。 8、离散型随机变量的分布列的性质： (1) 、 、…、 ，不可能事件的概率为 ，必然事件的概率为 )； (2) (一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和)。 9、两点分布：若随机变量 的分布列为(其中 )： 则称这样的分布列为两点分布列。如果随机变量 的分布列为两点分布列，就称 服从参数为 的两点分布。 两点分布又称 分布。由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布： ， ， ， 。 若 服从两点分布，则 ， 。 10、超几何分布：在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次品，则事件“ ”发生的概率 ， 、 、 、…、 ，其中 ，且 、 、 、 、 ，称随机变量 服从超几何分布。 随机变量 的分布列为： … … … … 11、离散型随机变量的均值与方差：若离散型随机变量 的分布列为： … … … … (1)均值：称 为随机变量 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 (2)方差：称 为随机变量 的方差，它刻画了随机