专题01 平面向量及其应用【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

专题01 平面向量及其应用【知识梳理】 姓名__________ 班级____________ 平面向量的概念 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a，eq \o(AB,\s\up6(→)) 零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0 单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0 a0＝eq \f(a,|a|) 共线(平 行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b 平行记作 a∥b 相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如eq \o(AB,\s\up6(→))＝a 相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a 典型例题 【例题1】下列命题正确的是（ ） A． 与 共线， 与 共线，则 与 也共线 B．单位向量都相等 C．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量 D．共线向量一定在同一直线上 【答案】C 【详解】 对于 中，当 时， 与 不一定共线，故 错误； 对于 中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故 错误； 对于 中，由零向量与任意向量都共线，得到向量 与 不共线，则 与 都是非零向量，故 正确； 对于 中，共线向量都平行于同一直线，不一定在同一直线上，故 错误. 【例题2】已知向量 ，则与 方向相反的单位向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意 ， ． 【变式训练1】若四边形 是矩形，则下列说法不正确的是（ ） A． 与 共线 B． 与 共线 C． 与 模相等，方向相反 D． 与 模相等 【变式训练2】在平行四边形 中， ，若 ，则 =（ ） A． B． C． D．3 【变式训练3】下列结论中正确的是（ ） ①若 且 ，则 ； ②若 ，则 且 ； ③若 与 方向相同且 ，则 ； ④若 ，则 与 方向相反且 . A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 平面向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 典型例题 【例题1】若O为 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】 中， 因 与 均为非零向量，则 ，即 ， 是直角三角形. 故选：B 【例题2】如图所示，已知在 中，O是重心，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接 并延长交 于点 ，因为 是重心，则 是 的中点. ， 所以 . 故选：B. 【变式训练1】在 中，点D满足 ，点E为线段 的中点，则向量 （ ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图， 是⊙ 的直径，点 、 是半圆弧 上的两个三等分点， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 （ ） A． B． C． D． 向量的坐标运算 1.平面向量的基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝2