第二章 第2节 函数的单调性与最值-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第2节　函数的单调性与最值 1．增函数与减函数的定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上． (1)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的． (2)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的． 2．单调区间、单调性及单调函数 (1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是增加或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的． (2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性． (3)单调函数：如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数． 1．设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(<0)，f(x1)－f(x2)>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(<0)，f(x1)－f(x2)<0(>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．对勾函数y＝x＋]，且对勾函数为奇函数． ，0)和(0，，＋∞)；减区间为[－]和[(a>0)的增区间为(－∞，－ 3．单调函数的运算性质： (1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数； ②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数； (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性； ③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． 4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　 ) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　 ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　 ) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　 ) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　 ) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(2020·合肥市调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　 ) A．y＝－x　　　　　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x 解析：A　[对于A，y1＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．]在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝ 2．(多选)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是(　　 ) A．在[－1,1]上单调递减 B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 C．在[5,7]上单调递减 D．在(3,5)上单调递减 解析：BD　[由图像可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝无意义，故排除A，C.故选BD.] 3．(教材改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________． 答案：[2,4] 4．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是________． 解析：f(x)＝，f(x)min＝f(1)＝