第一章 第2节 命题、充分条件与必要条件-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第2节　命题、充分条件与必要条件 1．命题的概念 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件． 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q等价于綈q⇒綈p； (2)q⇒/p等价于綈p⇒/綈q. [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× [小题查验] 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．] 2．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　 ) A．0个　　　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 解析：D　[原命题显然正确，其逆命题为：若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题. 故选D.] 3．(2020·衡阳市一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．] 4．(教材改编)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________． 答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0 5．下列命题： ①若ac2>bc2，则a>b； ②若sin α＝sin β，则α＝β； ③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒ / 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1， 即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1， 所以③正确；④显然正确． 答案：①③④ 考点一　命题的四种形式及其关系(自主练透) [题组集训] 1．(2020·马鞍山市模拟)命题p：若a＞b，则a－1＞b－1，则命题p的否命题为(　　 ) A．若a＞b，则a－1≤b－1 B．若a≥b，则a－1＜b－1 C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1 解析：C　[根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q，否命题为：若非p，则非q. ∵原命题为：若a＞b，则a－1＞b－1， ∴否命题为：若a≤b，则a－1≤b－1，故选C.] 2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　 ) A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题 解析：C　[根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.] 3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log2a>0，则函数f