第二章 核心素养提升系列(一) 函数与导数高考压轴大题的突破问题-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

核心素养提升系列(一)文P48　理P48 函数与导数高考压轴大题的突破问题 函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式关系探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开．此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后的备考中不可小视． 策略一　 运用分类讨论——各个击破 [典例1]　(理科)(2020·全国Ⅰ卷，21)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x， f′(x)＝ex＋2x－1，记g(x)＝f′(x)，因为g′(x)＝ex＋2>0，所以g(x)在R上单调递增， 即f′(x)在R上单调递增，又因为f′(0)＝0，所以当x>0时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1恒成立， (ⅰ)当x＝0时，a∈R； (ⅱ)当x>0时，即a≥恒成立， 记h(x)＝， ，所以h′(x)＝ 记g(x)＝ex－x2－x－1，因为当x≥0，g′(x)＝ex－x－1，所以g″(x)＝ex－1≥0恒成立， g′(x)在(0，＋∞)单调递增，所以[g′(x)]min＝g′(0)＝0， 所以g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)单调递增，所以[g(x)]min＝g(0)＝0， 令h′(x)＝0可得x＝2，当x∈(0,2)时，h′(x)>0，h(x)在(0,2)单调递增， 当x∈(2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)在(2，＋∞)单调递减，所以[h(x)]max＝h(2)＝. 所以a≥. 综上，a的取值范围为. [典例1]　(文科)(2017·全国Ⅰ卷)(本题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围． 学/规/范 ►————————————— (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)，(1分) ①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)单调递增．(2分) ②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．(4分) ③若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln. 当x∈单调递增．(6分) 单调递减，在时，f′(x)＞0，故f(x)在时，f′(x)＜0；当x∈ (2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.(7分) ②若a＞0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a．从而当且仅当－a2ln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0.(9分) ③若a＜0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为 f. ＝a2 从而当且仅当a2时f(x)≥0.(11分) ≥0，即0>a≥－2e 综上，a的取值范围为.(12分) 通/技/法 ►————————————— 函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图像连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值． [跟踪训练] 1．(2020·沈阳市质检)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a， 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝. －2a＝ 当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增； 当a＞0，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减． 时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈ 所以当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a＞0时，函数g(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为. (2)