第二章 第14节 定积分概念及简单应用-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

(理科)第14节　定积分概念及简单应用 1．定积分的性质 2．定积分的几何意义 (2)一般情况下，定积分∫f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和[图2中阴影所表示]，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． 3．微积分基本定理 微积分基本定理：如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即F′(x)＝f(x)，那么∫f(x)dx＝F(b)－F(a)．定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式．F(x)叫做f(x)的一个原函数． 常把F(b)－F(a)记作F(x)|＝F(b)－F(a)． f(x)dx＝F(x)|，即∫ 4．定积分的应用 (1)平面图形的面积： 一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝∫g(x)dx(f(x)>g(x))． f(x)dx－∫ (2)简单几何体的体积 若几何体是由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b及x轴所围成的区域绕x轴旋转一周得到的，则其体积为V＝∫π[f(x)]2dx. [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则 f(t)dt.(　　) f(x)dx＝ (2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　) (3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　) (4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx.(　　) f(x)dx＝2 (5)微积分基本定理中F(x)是唯一的．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× [小题查验] 1．下列值等于1的是(　　 ) 3．(2020·泉州市模拟)求由抛物线y＝2x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为(　　 ) A. B. C. D. 解析：D　将区间[0,2]等分成n个小区间，则每个区间长度为， 则分点分别为x0＝0，x1＝0＋，…，xn＝2， 则第i个区间为. 4．[教材改编]汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是________ m. 答案： 5．(2015·天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． 答案： 考点一　定积分的计算(自主练透) [题组集训] 答案：－1 2．计算|x2－1|dx＝________. 解析：|x2－1|dx ＝(x2－1)dx(1－x2)dx＋ ＝＝ ＋. ＝ 答案： 答案： 4．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是________． 解析：由dx＝ (x2＋ln x) 得解得a＝2. 答案：2 (1)定积分的计算方法有三个：定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦一般不用． (2)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分． ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． 提醒：① 注意用“F′(x)＝f(x)”检验被积函数f(x)的原函数F(x)的对错． ②被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 考点二　定积分的几何意义(子母变式) 直观想象——利用定积分求几何图形的面积． 不规则图形的面积可利用定积分的几何意义求解，恰当的对图形分割可得较简单的求解方法． [母题]　由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________． [解析]　由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为 及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y＝ [答案]　 [子题1]　若本例中“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？ 解：方法一：选积分变量为x，如图所示，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为 及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝ 方法二：若选积分变量为y，则函数分别为x＝y2，x＝2－y. 所围成图形的面积为.＝－＝2－(2－y－y2)dy＝ [子题2]　若本例中“y＝x－2”改为“y＝m”，且由曲线y＝，则m的值为________． 与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为 答案：2 [子题3]　若本例变为：直线y＝2kx(k＞0)与曲线y＝x2所围成的图形面积为，如图阴影部分，则实数k的值为________． 答案：