第二章 第13节 第3课时 利用导数研究函数的零点问题-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第3课时　利用导数研究函数的零点问题 考点一　确定函数零点(相应方程根)的个数 [典例]　(文科)(2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围． [解析]　(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x. 当x∈单调递减． 单调递增，在时，g′(x)＜0，所以g(x)在时，g′(x)＞0；当x∈ 又g(0)＝0，g＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点， 所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点． (2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0， 由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)单调递增，在(x0，π)单调递减． 又f(0)＝0，f(π)＝0，所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0. 又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax. 因此，a的取值范围是(－∞，0]． [答案]　(1)见解析　(2)a∈(－∞，0] [典例]　(理科)(220·杭州市模拟)已知函数f(x)＝＋aln x(x∈R)． (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数y＝f(x)在区间(0，e2]上的零点个数． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x的导数为 f′(x)＝， ＋ 可得函数y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率为， 切点为(1,1)，则切线方程为y－1＝(x－1)， 可得3x－2y－1＝0； (2)f(x)＝， ＝＋＋aln x的导数为f′(x)＝ 当a＝0时，f′(x)＞0，f(x)＝在(0，e2]递增，无零点； 当a＞0时，f′(x)＞0，f(x)＝＋aln x在(0，e2]递增，由x→0，f(x)→－∞，f(e2)＞0， 此时f(x)仅有一个零点； 当a≤－＋2a＜0，可得f(x)在(0，e2]递减，由x→0，f(x)→＋∞，f(e2)＜0， ， 此时f(x)仅有一个零点； 当－＜a＜0时，f(x)在(0,4a2)递减，(4a2，e2]递增，可得f(x)的最小值为f(4a2)＝－2a＋2aln(－2a)， 可设t＝－2a∈(0，e)，由y＝t－tln t的导数y′＝－ln t， 可得0＜t＜1时，函数y＝t－tln t递增，1＜t＜e时，函数y＝t－tln t递减， 可得t＝1时，y＝t－tln t取得极大值1，x＝e，y＝0，可得f(x)＞0恒成立，可得f(x)无零点． 综上可得，－＜a≤0时，f(x)无零点； a＞0或a≤－时，f(x)仅有一个零点． 答案：(1)3x－2y－1＝0　(2)－时，f(x)仅有一个零点． ＜a≤0时，f(x)无零点；a＞0或a≤－ [技巧点拨] 研究函数f(x)零点的策略 (1)如果函数f(x)在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在． (2)如果函数f(x)在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g(x)的极值与零的大小，以及函数f(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数． [跟踪训练] (文科)设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图像的交点个数． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 当0<x<时，f′(x)＜0，函数f(x)的单调递减； 当x>时，f′(x)＞0，函数f(x)的单调递增． 综上，函数f(x)的单调增区间是()． ，＋∞)，减区间是(0， (2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x>c， 问题等价于求函数F(x)的零点个数． F′(x)＝－，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数， 注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln 4<0，所以F(x)有唯一零点． 当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时F′(x)＜0,1＜x＜m时F′(x)＞0. 所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)单调递减，在(1，m)单调递增，注意到F(1)＝m＋>0， F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点． 综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图像总有一个交点． (理科)(2020·武汉市模拟)设函数f(x)＝ex－b(1＋ln x)． (1)证明f(x)的图象过一个定点A，并求f(x)在点A处的切线