第二章 第13节 第2课时 利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第2课时　利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题 考点一　分离参数法求参数范围 [典例]　(文科)(2020·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)． (1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)． 即f′(x)＝xex＋ex－4，则f′(0)＝－3，f(0)＝2， 所以所求切线方程为3x＋y－2＝0. (2)由f(1)≥0，得a≥>0， 则f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为对任意的x>0恒成立． ≥ 设函数F(x)＝(x>0)， 则F′(x)＝－. 当0<x<1时，F′(x)>0；当x>1时，F′(x)<0， 所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以F(x)max＝F(1)＝. 于是. ，解得a≥≥ 故实数a的取值范围是. [典例]　(理科)(2020·福建模拟)已知函数f(x)＝x(e2x－a)． (1)若y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，求a的值； (2)若f(x)≥1＋x＋ln x，求a的取值范围． [解析]　(1)根据题意，f(x)＝x(e2x－a)，y＝2x是曲线y＝f(x)的切线， 设切点的坐标为(x1，y1)， 则f′(x)＝(e2x－a)＋x×2e2x＝(2x＋1)e2x－a， 又由y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x1，y1)，则f′(x1)＝2， 解可得a＝－1； (2)根据题意，f(x)＝x(e2x－a)， 则f(x)≥1＋x＋ln x，即x(e2x－a)≥1＋x＋ln x，变形可得xe2x－(1＋ln x)≥(a＋1)x， 又由x＞0，所以a＋1≤e2x－， 设g(x)＝e2x－， 其导数g′(x)＝2e2x＋， ＝ 设h(x)＝2x2e2x＋ln x， 其导数h′(x)＝4xe2x(x＋1)＋＞0，则函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增； 又由h＜0，h(1)＞0， 答案：(1)a＝－1　(2)(－∞，1] [技巧点拨] 已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： 第一步，将原不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式； 第二步，利用导数求出函数f2(x)(x∈D)的最大(小)值； 第三步，解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min从而求出参数λ的取值范围． [跟踪训练] (文科)(2020·陕西第三次联考)已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝x2，a∈R. (1)求函数f(x)的极值点； (2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)f(x)＝ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a， 当a≤0时，f′(x)＝－a＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a＞0时，解f′(x)＝， －a＜0得x＞，解f′(x)＝－a＞0得0＜x＜ 所以f(x)在上单调递减， 上单调递增，在 所以函数f(x)有极大值点，为，无极小值点． (2)由条件可得ln x－x2－ax≤0(x＞0)恒成立， 则当x＞0时，a≥－x恒成立， 令h(x)＝， －x(x＞0)，则h′(x)＝ 令k(x)＝1－x2－ln x(x＞0)， 则当x＞0时，k′(x)＝－2x－＜0，所以k(x)在(0，＋∞)上为减函数． 又k(1)＝0，所以在(0,1)上，h′(x)＞0；在(1，＋∞)上，h′(x)＜0. 所以h(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数， 所以h(x)max＝h(1)＝－1，所以a≥－1. (理科)(2020·郑州一中二模)设函数f(x)＝xln x－＋a－x(a∈R)． (1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围； (2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值． 解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ln x－ax， 令f′(x)＝0，可得ln x－ax＝0， ∴a＝， ，令h(x)＝ 则由题可知直线y＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点， h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e， 可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， h(x)max＝h(e)＝， 当x趋向于＋∞时，h(x)趋向于零， 故实数a的取值范围为. (2)当a＝2时，f(x)＝xln x