第二章 第13节 第1课时 导数在不等式中的应用-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第13节　导数的综合应用 最新考纲 核心素养 考情聚焦 1.理解并掌握利用导数解决不等式的恒成立、能成立问题． 2.理解并掌握利用导数比较大小、证明不等式． 3.理解并掌握利用导数研究函数的零点问题 1.利用导数证明不等式，发展逻辑推理和数学运算素养． 2.利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题，提升逻辑推理和数学运算素养． 3.利用导数研究函数的零点问题，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养 　导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用 第1课时　导数在不等式中的应用 考点一　构造函数、证明不等式 [典例]　(文科)(2019·北京卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋x. (1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程； (2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x； (3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值． [解析]　本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． (1)f′(x)＝. x2－2x＋1＝1得x＝0或者x＝x2－2x＋1，令f′(x)＝ 当x＝0时，f(0)＝0，此时切线方程为y＝x，即x－y＝0； 当x＝，即27x－27y－64＝0； ，此时切线方程为y＝x－＝时，f 综上可得所求切线方程为x－y＝0和27x－27y－64＝0. (2)设g(x)＝f(x)－x＝时，g′(x)≥0，g(x)为增函数； 时，g′(x)＜0，g(x)为减函数；当x∈，所以当x∈[－2,0]时，g′(x)≥0，g(x)为增函数；当x∈x2－2x＝0得x＝0或者x＝x2－2x，令g′(x)＝x3－x2，g′(x)＝ 而g(0)＝g(4)＝0，所以g(x)≤0，即f(x)≤x； 同理令h(x)＝f(x)－x＋6＝x3－x2＋6，可求其最小值为h(－2)＝0，所以h(x)≥0，即f(x)≥x－6，综上可得x－6≤f(x)≤x. (3)由(2)知－6≤f(x)－x≤0， 所以M(a)是|a|，|a＋6|中的较大者， 若|a|≥|a＋6|，即a≤－3时，M(a)＝|a|＝－a≥3； 若|a|＜|a＋6|，即a＞－3时，M(a)＝|a＋6|＝a＋6＞3； 所以当M(a)最小时，M(a)＝3，此时a＝－3. [技巧点拨] 利用导数法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明h(x)>0.若函数f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max；若函数f(x)与g(x)的最值不易求出，可对h(x)＝f(x)－g(x)适当变形后进行转化． [典例]　(理科)(2020·陕西模拟)已知函数f(x)＝(x－a)ln x(a∈R)，它的导函数为f′(x)． (1)当a＝1时，求f′(x)的零点； (2)当a＝0时，证明：f(x)＜ex＋cos x－1. [解析]　(1)(方法一)f(x)的定义域为(0，＋∞) 当a＝1时，f(x)＝(x－1)ln x，f′(x)＝ln x＋1－， 易知f′(x)＝ln x＋1－为(0，＋∞)上的增函数， 又f′(1)＝ln 1＋1－1＝0，所以x＝1是f(x)的零点； (方法二)也可以画出y＝ln x＋1和y＝的图象，观察出两个图象的交点为(1,1)，所以f′(x)的零点为x＝1； (2)证明：当a＝0时，f(x)＝xln x， ①若0＜x≤1，则ex＋cos x－1＞0，xln x≤0 所以f(x)＜ex＋cos x－1成立， ②若x＞1，设h(x)＝ex＋cos x－xln x－1，则h′(x)＝ ex－sin x－ln x－1， 令m(x)＝h′(x)，则m′(x)＝ex－－cos x， 因为x＞1，所以m′(x)＞e－1－1＞0，从而m(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以m(x)＞m(1)＝e－sin 1－1＞0，即m(x)＝h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增； 所以h(x)＞h(1)＝e＋cos 1－1＞0，即xln x＜ex＋cos x－1， 故f(x)＜ex＋cos x－1. 答案：(1)x＝1是f(x)的零点　(2)证明略 [技巧点拨] 1．证明不等式的基本方法： (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀