第二章 第11节 利用导数研究函数的单调性-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第11节　利用导数研究函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： ①若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内是增加的； ②若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内是减少的； ③若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是不变的． 2．求函数单调区间的步骤 (1)求定义域． (2)求导． (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间． 1.f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； 2．若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x≤0))是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　 ) (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．(　　 ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．(　　 ) (4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．(　　 ) 答案： (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [小题查验] 1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 2．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是(　　 ) A．单调递增　　　　　　　 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 解析：A　[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．] 3．(2020·和平区模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图像上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为(　　 ) －x＋x0－2)x＋(y0－x A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，－2) D．(1，＋∞) 解析：A　[由图像上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋2x0)， －x＋x0－2)x＋(y0－x 知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2， 令f′(x)＜0，解得：－2＜x＜1，故选A.] 4．(教材改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为________． 答案：(－∞，0) 5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. 答案：3 考点一　利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研) 逻辑推理——分类与整合思想研究函数的单调性 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． [典例]　(2019·新课标Ⅲ卷，20)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当0＜a＜3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围． [解]　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝， 若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪单调递减； 单调递增，在时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)，时，f′(x)＞0；当x∈ 若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增； 若a＜0，则当x∈单调递减． ，(0，＋∞)单调递增，在时，f′(x)＜0，故f(x)在∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈ (2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在＋2，最大值为f(0)＝2或 ＝－单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为f单调递减，在 f(1)＝4－a.于是 m＝－＋2，M＝ 所以M－m＝ 当0＜a＜2时，可知2－a＋. 单调递减，所以M－m的取值范围是 当2≤a＜3时，. 单调递增，所以M－m的取值范围是 综上，M－m的取值范围是. 　　 导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确认f′(x)在(a，b)内的符号； (3)下结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数． 　易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解