第二章 第10节 导数的概念与计算-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第10节　导数的概念与计算 1．导数的概念 (1)导数的定义 导数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝ . (2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝f′(x0)． 2．导数的计算 (1)导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 导函数 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_x y＝xα(α∈Q*) y′＝axα－1 y＝cos x y′＝－sin_x y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axln_a 特别地(ex)′＝ex y＝tan x y′＝ y＝logax (a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝cot x y′＝－ (2)导数运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ③(g(x)≠0)． ′＝ 3．(理科)复合函数的导数 函数y＝f(φ(x))称为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，其导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． 1.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　 ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　 ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　 ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　 ) (5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　　 ) 答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √ [小题查验] 1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　 ) A．xsin x　　　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：B　[y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是(　　 ) 解析：D　[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，故选D.] 3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)(　　) A．既是周期函数，又是奇函数 B．既是周期函数，又是偶函数 C．不是周期函数，但是奇函数 D．不是周期函数，但是偶函数 解析：B　[因为y＝f(x)是周期函数， 所以有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导， 得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)， 即f′(x＋T)＝f′(x)， 所以导函数为周期函数．又y＝f(x)是奇函数． 所以f′(x)为偶函数] 4．(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 答案：2e 5．(2020·全国Ⅰ卷，6)函数f(x)＝x4－2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：B　[先求函数的导函数f′(x)＝4x3－6x2，则由导数的几何意义知在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝－2，又因为f(1)＝－1，由直线方程的点斜式得切线方程为：y－(－1)＝－2(x－1)，化简得y＝－2x＋1.] 考点一　导数的概念(自主练透) [题组集训] 解析：令2x＝Δx，由x→0，得Δx→0， 由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1. 答案：－1 2．用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数． 解析：设f(x)＝， 则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝＝－1＝ ＝， ，＝－ ∴y′|x＝1＝－. 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率； ＝ 考点二　导数的计算(自主练透) [题组集训] 　求下列函数的导数．