第二章 第9节 函数模型及应用-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第9节　函数模型及应用 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 　　函数 性质　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 　单调递增　 　单调递增　 　单调递增　 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与　y轴　平行 随x的增大逐渐表现为与　x轴　平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 3.解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； (2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题； (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　 ) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　 ) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　 ) (4)幂函数增长比直线增长更快．(　　 ) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．(　　 ) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图像是(　　 ) 解析：C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.] 2．(教材改编)下列函数中随x的增大，增长率最终最大的是(　　 ) A．y＝1 000x　　　　　　　 B．y＝x2 C．y＝ln x D．y＝(1.01)x 解析：D　[指数函数增长最快，因此选D.] 3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　 ) A．200只 B．300只 C．400只 D．500只 解析：A　[由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100， 则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．故选A.] 4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝ (Q－300)2＋2 500， －10Q－2 000＝－ 所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)． 答案：2 500 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)． 解析：设矩形花园的宽为y m，则，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大． ＝ 答案：20 6．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案：2ln 2　1 024 考点一　用函数图像刻画实际问题中两变量的变化过程(自主练透) [题组集训] 1．(2020·淮南市一模)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图像是(　　 ) 解析：C　[由三视图可知，几何体下部分是圆台，上部分是与下部分相同倒放的圆台， 因为圆台下面粗，上面细，水面高度开始增加的慢，后来增加的快，而上面是先快后慢，故函数的图像是C.] 2．(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿