第二章 第8节 函数与方程-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第8节　函数与方程 1．函数的零点 (1)函数的零点 ①定义：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． ②函数零点与方程解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数f(x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点的个数 2 1 0 (3)函数零点的判断 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点． 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) 函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　 ) (2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　 ) (3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　 ) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　 ) (5) 若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　 ) 解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C.] 2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　 ) A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：B　[易知f(x)＝2x＋3x在R上是增函数． 而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．故选B.] 3．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1　　　　 C．2 　　　　D．3 解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．] 4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为________． 解析：由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56 5．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上，方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________. 解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图像如图所示． 直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图像有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即. <a< 答案： 考点一　判断函数零点的个数(师生共研) [典例]　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　 ) A．3　　　　　　　　　　　 B．2 C．7 D．0 (2)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝ 上的根的个数是(　　 ) x在 A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)法一：由f(x)＝0得，解得x＝－2，或x＝e. 或 因此函数f(x)共有2个零点． 法二：函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数f(x)共有2个零点． (2)因为f(x)为偶函数，