第二章 第6节 对数与对数函数-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第6节　对数与对数函数 1．对数 (1)对数的定义： 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)几种常见对数： 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图像与性质 定义 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数 图像 a>1 0<a<1 性质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当0<x<1时，y∈　(－∞，0)　； 当x>1时，y∈　(0，＋∞)　 当0<x<1时，y∈　(0，＋∞)　； 当x>1时，y∈　(－∞，0)　 在(0，＋∞)上为　增函数　 在(0，＋∞)上为　减函数　 4.指数函数与对数函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　 ) (2)log2x2＝2log2x.(　　 ) (3)当x>1时，logax>0.(　　 ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像只在第一、四象限．(　　 ) (5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．(log29)·(log34)等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．2 D．4 解析：D　[法一：原式＝＝4. ＝· 法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.] 3．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图像可能是(　　 ) 4．(教材改编)函数y＝的定义域为________． 解析：由. ，解得x∈ 答案： 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图像关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 由f＝0. ＝0，得f 答案：∪(2，＋∞) 考点一　对数的基本运算(自主练透) [题组集训] 1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________. 解析：根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7. 答案：－7 2. ＝________. 解析：原式＝ ＝. ＝－ 答案：－ 3．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________. 解析：∵14b＝5，∴log145＝b，又log147＝a， ∴log3528＝. ＝＝ 答案： 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 考点二　对数函数的图像及应用(子母变式) 直观想象——数形结合法在对数函数问题中的应用 对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图像问题，利用数形结合法求解． [母题]　当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．(1，，2) ) D．( [破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图像的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法． [解析]　B　[法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在. ，所以a的取值范围为，则a>，即2<loga<g上的图像，可知，f 法二：∵0<x≤，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝， ，x＝ [子题1]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是____________