第二章 第5节 指数与指数函数-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第5节　指数与指数函数 1．指数幂 (1)分数指数幂 ②规定：分数指数幂与根式的关系 0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)指数幂的运算性质 若a，b>0，m，n∈R，则 ①aman＝am＋n； ②(am)n＝amn； ③(ab)n＝anbn. 2．指数函数的图像和性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 图像 0<a<1 a>1 图象特征 在x轴　上方　，过定点　(0,1)　 性质 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 单调性 　减函数　 　增函数　 当x＝0时，　y＝1 函数值变化规律 当x<0时，　y>1　；当x>0时，　0<y<1　 当x<0时，　0<y<1　；当x>0时，　y>1　 [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ [小题查验] 2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图像之间的关系是(　　 ) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：A　[∵y＝x＝2－x， ∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称．] 3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0) 解析：A　[由a0＝1知，当x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝5，即图像必过定点(1,5). 故选A.] 4．(教材改编)已知0.2m<0.2n，则m______n(填“>”或“<”)． 答案：> 5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2， 得－. ＜a＜－1或1＜a＜ 答案：(－，－1)∪ 考点一　根式与有理数指数幂的运算(自主练透) 数学运算——巧算指数式 指数的运算除了熟练运用定义和法则外，根据不同的题目结构，会有不同的方法技巧， 可以化为同指数，也可以化为同底数，展现出其运算之“芬芳”． [题组集训] 1．(2019·新课标Ⅰ卷，3)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A．a＜b＜c　　　　　　　　　 B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：B　[∵a＝log20.2＜log＝0，b＝20.2＞20＝1， 0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.] 2．求值与化简． 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点二　指数函数的图像及应用(师生共研) [典例]　(1)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是(　　) (2)函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0　　　　　　　 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (3)(2020·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． [解析]　(1)将函数解析式与图像对比分析， 因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质，故选A. (2)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图像是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D. (3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． [答案]　(1)A　(2)D　(3)[－1,1] [互动探究1] 若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是________． 解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1) [互动探究2] 若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是________． 解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值