第二章 第4节 二次函数与幂函数-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第4节　二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图像 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图像关于x＝－对称 2.幂函数 (1)定义：如果一个函数，底数是自变量，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数． (2)幂函数的图像 (3)幂函数的性质比较 　　　函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x∈R且x≠0　} 值域 R 　[0，＋∞)　 R 　(0，＋∞)　 　{y|y∈R 且y≠0}　 奇偶性 　奇函数　 　偶函数　 　奇函数　 　非奇非偶函数　 奇函数 单调性 　增　 　x∈[0，＋∞)时，增　；x∈(－∞，0]时，减 　增　 　增　 　x∈(0，＋∞)时，减　； x∈(－∞，0)时，减 [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．(2020·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝(　　 ) A.　　　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又f.]，从而k＋α＝，解得α＝α＝，所以＝ 2．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　 ) 解析：B　[图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.] 3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(　　 ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 解析：A　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－＝1，即m＝－2.]，且只有一条对称轴，所以－ 4．二次函数的图像与x轴只有一个公共点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为__________． 答案：y＝x2－2x＋3 5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不经过原点，则实数m的值为________． 解析：由，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合． 答案：1或2 考点一　幂函数的图像与性质(自主练透) [题组集训] 1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图像是(　　 ) 解析：B　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1， 解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.] 答案：(－∞，－1)∪ 1．幂函数的解析式：y＝xα(α∈R)，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．幂函数的图像特征：①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．②曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸． 3．幂函数的性质： (1)若α为偶数，则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数；若α为奇数，则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 4．幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 考点二　二次函数的图像与性质(多维探究) [命题角度1]　二次函数的图像 1．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是(　　 ) 解析：D　[由A，C，D知，f(0)＝c<0， 从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－<0，B错误．]>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，所以ab>0，所以x＝－ [命题角度2]　二次函数的单调性 2．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数