第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-2022高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书（北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 条件 图像特点 偶函数 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 奇函数 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数．奇函数＋偶函数＝非奇非偶函数． 2．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　 ) (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．(　　 ) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　 ) (4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　 ) (5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 020)＝0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　 ) A．－　　　　　　 　　　 B. C. D．－ 解析：B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝.]，则a＋b＝ 2．下列函数为奇函数的是(　　 ) A．y＝2x－ B．y＝x3sin x C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x 解析：A　[由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数，故选A.] 3．(2021·葫芦岛市一模)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝(　　 ) A．10 B. C．－10 D．－ 解析：B　[因为f(x＋3)＝－＝f(x)， ＝－，故有f(x＋6)＝－ 所以函数f(x)是以6为周期的函数． 所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－.]＝＝－＝－ 4. (2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________. 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12. 答案：12 5．(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________． 解析：由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数， ∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 答案：(－2,0)∪(2,5] 考点一　判断函数的奇偶性(自主练透) [题组集训] 1．下列函数为奇函数的是(　　 ) A．y＝　　　　　　　　 B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝e