专题7《立体几何》第1讲 空间几何体的结构及计算 2022届高考数学一轮复习讲解

专题7 立体几何 第1讲 空间几何体的结构及计算 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：空间几何体的结构 1.多面体的结构特征 图 形 结构特征 棱柱 两个面互相平行； 其余各面是四边形； 侧棱互相平行 棱锥 底面是多边形； 侧棱交于一点 棱台 上下底面平行且相似； 侧棱的延长线交于一点 ①正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． 反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． ②正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥． 特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 2.旋转体的结构特征 图 形 结构特征 圆柱 两个底面互相平行； 有无数条母线，长度相等且都与轴平行； 过轴的截面是全等的矩形 圆锥 底面是圆面； 有无数条母线，长度相等且交于一点； 平行于底面的截面是与底面大小不同的圆； 过轴的截面是全等的等腰三角形 圆台 上下底面平行且不相等； 母线的延长线交于一点； 平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆； 过轴的截面是全等的等腰梯形 球 过球心的截面是大小相等的圆 知识点二：空间几何体的三视图与直观图 1.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． ①三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”， 即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽． ②若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 2.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： ①画几何体的底面：在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. ②画几何体的高：在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变. 知识点三：空间几何体的表面积与体积 1.柱体、锥体、台体的表面积 （1）多面体的表面积： 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. （2）旋转体的表面积： 圆柱 （底面半径为r，母线长为l） 圆锥 （底面半径为r，母线长为l） 圆台 （上下底面半径分别为r、r′，母线长为l） 底面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2，S下底＝πr2 侧面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r＋r′)l 表面积 S表＝S底＋S侧 2.柱体、锥体、台体的体积 （1）柱体的体积：V柱＝Sh （2）锥体的体积：V锥＝Sh （3）台体的体积：V台＝)h(S上＋S下＋ 3.球的表面积和体积 （1）球的表面积：S球＝4πR2 （2）球的体积：V球＝πR3 Ⅱ 解 题 模 板 题型一：空间几何体的结构特征 例1：下列说法种正确的有 ． ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥； ④棱台各侧棱的延长线交于一点. 例2：以下命题中正确的有 . ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 例3：如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，正确的命题有 ． ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等； ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补； ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆； ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上. 题型二：空间几何体的三视图 例1：若某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） 例2：若某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） 例3：在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ） 例4：一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ． ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱． 例5：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ． 题型三：空间几何体的直观图 例1：已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为多少？ 例2：如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm， 则原图形是（ ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 例3：利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是 ． ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形； ④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形． 题型四：计算几何体的表面积 例1：若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，求该三棱柱的侧面积. 例2：一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积． 　 例3：某四面体的三视图如图所示，求该四面体四个面中最大面的面积. 题型五：计算几何体的体积 例1：如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，求该几何体的体积． 例2：某几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积. 题型六：几何体的展开与折叠 例1：已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，如图所示，求CP＋PA1的最小值. 第1讲 空间几何体的结构及计算 题型一：空间几何体的结构特征 1.④ 2.③ 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆 锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命 题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行． 3.①③④ 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在 底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相 等，即①正确；底面四边形必有一个外接圆， 即③正确；在高线上可以找到一个点O，使 得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即④正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)，即②错误． 题型二：空间几何体的三视图 1.B 所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合． 2.D A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图不对，故B错．C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D. 3.D 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D. 4.①②③⑤ ①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形； ⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不 论怎样放置，其正视图也不可能是三角形． 5.②④ 正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意． 题型三：空间几何体的直观图 1.如图所示的实际图形和直观图． 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝a， OC＝ 在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝a. O′C′＝ ∴S△A′B′C′＝a2.a＝×a×A′B′·C′D′＝ 2.C 将直观图还原得▱OABC，则 ∵O′D′＝ (cm)， O′C′＝2 OD＝2O′D′＝4 (cm)， C′D′＝O′C′＝2 (cm)， ∴CD＝2 (cm)，OC＝＝6 (cm)， OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，故原图形为菱形． 3.①②④ ①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误． 题型四：计算几何体的表面积 1.由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧 棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6. 2.换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高 为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰 长为.，所以该几何体的表面积为48＋8 3.由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分 别为6,6，8,10，所以面积最大的是10. 题型五：计算几何体的体积 1.该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示， 由题知该几何体的底面是边长为3的正方形， 高为.＝9，故V＝3×3× 2.由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和 半径为1的球的组合体，则体积为π×22×2＋π.π＝ 题型六：几何体的展开与折叠 1.PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示． CP＋PA1≥A1C. 在△AC1C中，由余弦定理得 A1C＝，＝5＝ 故(CP＋PA1)min＝5. $