专题1《集合与简易逻辑》第3讲 逻辑联结、全称量词与存在量词 2022届高考数学一轮复习讲解

第3讲 逻辑联结、全称量词与存在量词 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 “所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的量词叫做全称量词，含有全称量词的命题，叫做全称命题． 2.存在量词与特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，含有存在量词的命题，叫做特称命题． 3.全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 知识点二：逻辑联结词 1.逻辑联结词“且” 用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”.当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p且q”就是假命题． 2.逻辑联结词“或” 用“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”.在两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题时，新命题“p或q”就是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题． 3.逻辑联结词“非” 对命题p加以否定，可得一新命题，记作¬p，读作“非p”.在命题和其非命题中，有且只有一个是真命题. 注意：①对于“p∧q”命题：一假则假； ②对于“p∨q”命题：一真则真； ③对于“¬p”命题：与“p”命题真假相反． 知识点三：“否命题”与“命题的否定” 1.否命题与命题的否定 （1）“否命题”是将原命题的条件和结论同时否定而构造的一个新的命题. （2）“命题的否定”原命题的条件不变，只是将结论否定而构造的一个新的命题． 命题 “否命题” “命题的否定” 若p，则q 若¬p，则¬q 若p，则¬q 2.含有一个量词的命题的否定 （1）全称命题的否定是特称命题： 全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)． （2）特称命题的否定是全称命题： 特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)． 3.复合命题的否定 （1）¬(p∧q) (¬p)∨(¬q)． （2）¬(p∨q) (¬p)∧(¬q)． 4.常用的否定词 正面词语 等于 大于 小于 一定是 都是 任意的 所有的 任意两个 至多有一个 至少有一个 否定词语 不等于 不大于 不小于 不一定是 不都是 某个 某些 某两个 至少有两个 一个也没有 Ⅱ 解 题 模 板 题型一：全称命题与特称命题的判断 例1：指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假． (1)对任意实数x，都有x2＋1＞0. (2)存在一个自然数小于1. (3)菱形的对角线相等． 例2：判断下列命题的真假． (1)对任意的x∈R，2x≥1. (2)对任意的x∈N，2x≥1. (3)存在x0∈Z，使x＜1. (4)存在x0∈Q，使x＝2. 规律总结：⑴判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有量词是全称量词还是存在量词. ⑵①要判断全称命题“对任意x∈M，p(x)成立”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立.但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可.(需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写) ②要判断特称命题“存在x∈M，使p(x)成立”是真命题，只要在集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，否则，这一命题就是假命题. 题型二：全称命题与特称命题的否定 例1：写出下列命题的否定． (1)所有的矩形都是平行四边形． (2)存在x0，使sin2x0＋cos2x0≠1. (3)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根． 例2：命题“对任意x∈R，x＞sin x”的否定是（ ） A.存在x0∈R，使x0＜sin x0 B.对任意x∈R，x≤sin x C.存在x0∈R，使x0≤sin x0 D.对任意x∈R，x＜sin x 例3：命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是（ ） A.存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根 B.对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根 C.存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根 D.存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根 题型三：用逻辑联结词构造复合命题 例1：分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“ ¬p”形式的新命题． (1)p：大于1. 是无理数，q： (2)p：x2＋1＞2x，q：x2＋1＜2x. 例2：在一次模拟射击游戏中，某人连续射击了两次.设命题p