专题1《集合与简易逻辑》第1讲 集合的概念与运算 2022届高考数学一轮复习讲解

专题1 集合与简易逻辑 第1讲 集合的概念与运算 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：集合的含义与表示 1.集合的概念 （1）集合的定义： 指定的某些对象的全体称为集合. 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大写拉丁字母A、B、C …等表示；集合的元素通常用小写拉丁字母a、b、c …等表示. （2）元素与集合的关系： 元素与集合的关系有且仅有两种：属于（ ）或不属于（ ）. （3）辩证理解集合和元素： ①集合和元素是两个不同的概念，符号 和 是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的 关系. 例如： 的写法是错误的，而 的写法是正确的. ②一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象. 例如：对于集合 ，就是指所有大于0的实数，而不是指“x是大于0的一个实数或某些 实数”. ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件. （4）集合中元素的特性： ①确定性：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的，只有“是”与“不是”两种情况. 例如：“由所有小于20的数组成的集合”和 “由高个子组成的集合”比较. ②互异性：对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. 例如：由1,2,3,1四个数构成的集合为 ，而不能写成 . ③无序性：集合与其中元素的排列顺序无关. 例如：集合 与 是同一集合. （5）常用数集： ①实数集R ②有理数集Q ③整数集Z ④自然数集N； ⑤正整数集N*(或N＋) 2.集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合. （2）无限集：含有无限个元素的集合. （3）空集： 不含任何元素的集合，记作 . 3.集合的表示 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法. （2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. 知识点二：集合的基本关系 1.子集的概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B或B⊇A，这时我们说集合A是集合B的子集. 任何一个集合都是它本身的子集. 2.集合相等的概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何 一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B. 3.真子集的概念 一般地，对于两个集合A与B，如果A⊆B且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集. 4.几个重要结论 ①空集是任何集合的子集. ②空集是任何非空集合的真子集. ③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C. ④A＝B A⊆B且B⊆A. ⑤有限集合的子集个数：n个元素的集合有2n个子集； 其中有2n－1个真子集；有2n－1个非空子集；有2n－2个非空真子集. 知识点三：集合的基本运算 1.交集与并集 （1）交集： 定义：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B. 即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B； A∩A＝A，A∩Ø＝Ø，A∩B＝A A⊆B. （2）并集： 定义：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B. 即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． 性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B； A∪A＝A，A∪Ø＝A，A∪B＝A B⊆A. 2.全集与补集 （1）全集： 若某个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示. （2）补集： 定义：设U是全集，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A 的补集，记作∁UA. 即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 性质：A∩∁UA＝Ø，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. Ⅱ 解 题 模 板 题型一：集合的概念 例1：下列各组中的M、N表示同一集合的是（ ） A.M＝{1，－3}，N＝{(－3，1)} B.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R }，N＝{u|u＝(y－1)2＋1，y∈R } C.M＝Ø，N＝{0} D.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R }，N＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R } 例2：已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，求实数m的值． 例3：设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋2}，A∩B＝{3}，求实数a的值． 例4：已知A＝{x|x＝3n，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，C＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，若a∈A，b∈B，c∈C， 则（ ） A.ab∈A，bc∈B，ca∈C B.ab∈A，bc∈C，ca∈A C.ab∈B，bc∈C，ca∈A