专题8《平面解析几何》第6讲 直线与圆锥曲线 2022届高考数学一轮复习讲解

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 第6讲 直线与圆锥曲线 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：点与圆锥曲线的位置关系 1.点P(x0，y0)与椭圆＝1的位置关系＋ ①点P在椭圆内 ＜1； ＋ ②点P在椭圆上 ＝1； ＋ ③点P在椭圆外 ＞1.＋ 2.点P(x0，y0)与双曲线＝1的位置关系－ ①点P在双曲线内 ＞1； － ②点P在双曲线上 ＝1； － ③点P在双曲线外 ＜1.－ 知识点二：直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的交点个数的判定 设直线l：Ax＋By＋C＝0， 与圆锥曲线方程联立，得方程组 消去y后得ax2＋bx＋c＝0. 此时： （1）当a≠0时，方程为一元二次方程，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ， ①若Δ＞0，则方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； ②若Δ＝0，则方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； ③若Δ＜0，则方程无实解，即直线与圆锥曲线无交点. （2）当a＝0时，方程为一元一次方程， ①若b≠0，则方程有一个解，即直线与圆锥曲线有一个交点； ②若b＝0，c≠0，则方程无解，即直线与圆锥曲线没有交点. 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判定 椭圆 双曲线 抛物线 位置关系 交点个数 相 交 2 2 2 2 1 1 1 相 切 1 1 1 相 离 0 0 0 0 （1）直线与双曲线有一个交点时，其位置关系为“相切”或“相交”： ①相切：直线为双曲线的切线，此时两方程联立消元后所得方程为一元二次方程，且Δ＝0. ②相交：直线与双曲线的渐近线平行，此时两方程联立消元后所得方程为一元一次方程. （2）直线与抛物线有一个交点时，其位置关系为“相切”或“相交”： ①相切：直线为抛物线的切线，此时两方程联立消元后所得方程为一元二次方程，且Δ＝0. ②相交：直线与抛物线的对称轴平行，此时两方程联立消元后所得方程为一元一次方程. 知识点三：圆锥曲线中弦的相关问题 1.圆锥曲线的弦长问题 若直线y＝kx＋m与圆锥曲线相交于两点A，B (设x1，x2分别为A，B两点的横坐标) 可联立两式，即： 得：ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 则弦长公式为：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2| （注：|x1－x2|＝eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝(Δ)eq \f(,|a|) ） 2.中点弦问题 若直线l与圆锥曲线的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则设弦的中点为(x，y)，两式相减并整理得：ax＋by∙k＝0 （注：a、b为已知，k为未知） 常见三种题型：⑴已知弦中点，求弦所在直线方程. ⑵已知弦所在直线斜率，求弦中点轨迹. ⑶已知弦过某定点，求弦中点轨迹. 3.焦点弦问题 圆锥曲线焦半径公式 椭圆 双曲线 抛物线 R左＝a＋ex R右＝a－ex 左支： R左＝－(ex＋a) R右＝－(ex－a) R＝x＋eq \f(p,2) 右支： R左＝ex＋a R右＝ex－a 注意：不用记忆，理解即可.用圆锥曲线统一定义来推导. 4.焦点三角形问题 椭圆或双曲线上的一点与其两焦点构成的三角形叫做焦点三角形. 焦点三角形问题中常用的三个公式：（1）曲线定义：①椭圆 |PF1|＋|PF2|＝2a ②双曲线 ||PF1|－|PF2||＝2a （2）余弦定理：(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ （3）完全平方式：(|PF1|±|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2±2|PF1||PF2| 附加公式：焦点三角形面积公式S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ 焦点三角形的两个重要规律 椭圆 双曲线 规律1：面积公式 S＝b2tan eq \f(θ,2) S＝(θ,2)eq \f(b2,tan ) 规律2：离心率公式 e＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P ＋sin∠F2F1P) e＝eq \f(sin∠F1PF2,|sin∠F1F2P －sin∠F2F1P|) Ⅱ 解 题 模 板 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 例1：已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有一个公共点； (3)没有公共点. 例2：若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，求实数a的取值范围. 题型二：圆锥曲线的弦长问题 例1：已知斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，求|AB|的最大值. 例2：已知椭圆C：x2＋，求直线l＝1