专题7《立体几何》第5讲 空间向量及其运算 2022届高考数学一轮复习讲解

第5讲 空间向量及其运算（理） Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：空间向量的有关概念及运算 1.空间向量的定义 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2.特殊向量 （1）零向量：长度为零的向量. （2）单位向量：模为1的向量. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量. （4）相反向量：方向相反但模相等的向量. （5）共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量． 3.线性运算 空间向量的加法、减法、数乘运算的定义及运算法则、运算规律都和平面向量相同. 4.坐标运算 空间向量的加法、减法、数乘运算的坐标表示都可类比平面向量的坐标运算得知. 若在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量， 对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk. 则把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基. (x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示. (1)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； ②a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)； ③λa＝(λx1，λy1，λz1) (λ∈R). (3)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：①a∥b⇔a＝λ b⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2 (λ∈R)； ②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. (4)设a＝(x1，y1，z1)，则：|a|＝.＝ 5.向量的数量积运算 空间向量的夹角定义、数量积定义及运算、数量积的性质等都和平面向量相同. 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 知识点二：空间向量的有关定理 1.共线向量定理 空间任意两个向量a、b (b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb. 3.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc. Ⅱ 解 题 模 板 题型一：空间向量的概念理解 例1：如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′中， (1)与相等的向量有哪些？ (2)是相反向量吗？ 与 (3)与平行的向量有多少个？ 题型二：空间向量的线性运算 例1：如图，在四面体O­ABC中，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，＝b，＝a， 试用a，b，c表示． 例2：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设＝c，试用a，b，c＝b，＝a， 表示.， 例3：如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝ 1∶3.设.，＝c，试用a，b，c表示＝b，＝a， 例4：如图，已知三棱锥A－BCD，E、F分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式： (1)； ＋＋ (2)； ＋＋ (3).－－ 例5：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：； －－ (2)设E是棱DD1上的点，且.表示，，，试用＝ 题型三：共线共面定理的应用 例1：如图，四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与 是否共线？ 例2：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且.求证：E，F，B三点共线．＝，F在对角线A1C上，且＝2 例3：如图，已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点. 求证：E、F、G、H四点共面． 例4：如图所示，在棱长为1的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.若A1，E，F，C1四点共面，求证：.＋＝ 题型四：空间向量的坐标运算 例1：如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． 例2：已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求： (1)a＋b； (2)2a－b； (3)2a·(－b