专题7《立体几何》第2讲 空间点、线、面之间的位置关系 2022届高考数学一轮复习讲解

第2讲 空间点、线、面之间的位置关系 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：平面的基本性质 1.公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 2.公理2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． （1）推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线． 知识点二：两条直线之间的位置关系 1.两直线间的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 共面情况 公共点 平行 a∥b 共面直线 0个 相交 a∩b＝O 1个 异面 a与b异面 异面直线 0个 2.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． （2）范围：(0°，90°] 3.平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等. 知识点三：直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 线在面内 a⊂α 无数个 线面相交 a∩α＝A 1个 线面平行 a∥α 无公共点 知识点四：两个平面之间的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 面面平行 α∥β 无公共点 面面相交 α∩β＝a 一公共直线 Ⅱ 解 题 模 板 题型一：平面的基本性质理解 例1：下列命题是真命题的是（ ） A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 例2：已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 例3：已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 例4：下列命题中，正确的结论有（ ） ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例5：如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的 平面为γ，则β∩γ是（ ） A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.直线AR 题型二：异面直线基本问题 例1：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 例2：已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.求证：直线EF与BD是异面直线. 例3：在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图 形有________________ (填上所有正确答案的序号)． 例4：如右图，在三棱锥P—ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对． 规律总结：证明两直线为异面直线时，直接证明不易操作，故一般都采用反证法： 先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导 出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. 题型三：异面直线所成角问题 例1：在正方体ABCDA1B1C1D1中． (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 例2：如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成 的角． 例3：如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB＝3，CD＝3，E、F分别是另外两条对边AD、BC上的点，且，求AB和CD所成的角的大小． ，EF＝＝＝ 例4：如图所示，过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角 都相等，这样的直线l可以作（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 规律总结：求异面直线所成的角通常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型： ⑴利用图中已有的平行线平移； ⑵利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移； ⑶利用补全图形来平移. 平移完成后，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 题型四：点共线、点共面、线共点的证明问题 例1：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内． 例2：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.求证：P、Q、R三点共线． 例3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B、Q、D1三点共线． 例4：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点. (1)求证：E、C、D1、F四点共面； (2)求证：CE、D1F、DA三线共点． 例5：如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点， 且.求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．＝＝ 规律总结：⑴要证明直线共面问题，先证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α；再证明其余直线上均有两点也在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是证明了这些直线共面. ⑵要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3， 即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上． 题型五：几何体的截面问题 例1：正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 例2：下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________． 第2讲 空间点、线、面之间的位置关系 题型一：平面的基本性质理解 1.D 空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确． 2.C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. 3.B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，A错； 两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，D错． 4.B ①错，符合条件的两角相等或互补；②符合等角定理； ③错，可能不相等也不互补；④是公理4.故②④正确． 5.C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB， ∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β， ∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR. 题型二：异面直线基本问题 1.(1)不是异面直线．理由如下： 连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C， ∴A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内，故AM、CN不是异面直线． (2)是异面直线．证明如下： ∵ABCDA1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α， ∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线． 2.假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线． 3.(2)(4) 如题干图(1)中，直线GH∥MN； 图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面； 图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面． 4.3 据定义可知共3对，AP与BC，CP与AB，BP与AC. 题型三：异面直线所成角问题 1.(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体， 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成 的角就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°. 即A1D与AC所成的角为60°. (2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中， AC⊥BD，AC∥A1C1， ∵E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90°. 2.如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG. ∵E，F分别为BC，AD的中点， ∴EG∥CD，GF∥AB，EG＝AB. CD，GF＝ ∴∠GFE就是EF与AB所成的角， ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，即∠EGF＝90°. ∵AB＝CD，∴GF＝EG，∴△EFG为等腰直角三角形， ∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°. 3.如题图，在BD上取点M使BM＝MD，连接EM，MF. ∵DC. AB，MF綊，∴EM綊＝＝ ∴∠EMF(或其补角)为AB和CD所成的角. ∵AB＝3，CD＝3，∴EM＝2，MF＝1.又∵EF＝， ∴∠EMF＝60°. ∴AB和CD所成的角为60°. 4.如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、 AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都 为.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1， 则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD， ∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条． 题型四：点共线、点共面、线共点的证明问题 1.∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内． 2.∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P、Q、R三点共线． 3.∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB， B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内， ∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1， ∴Q在两平面的交线BD1上，∴B、Q、D三点共线. 4.(1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点． 5.∵E、H分别为边AB、AD的中点， ∴EH綉，且FG∥BD. ＝，∴＝＝BD，而 ∴四边形EFGH为梯形，故两腰EF、GH必相交于一点P. ∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. 同理，P∈平面ADC. ∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC 三直线交于一点． 题型五：几何体的截面问题 1.过正方体棱上的点P、Q、R的截面必和正方体 每个面有交线.如图所示，作RG∥PQ交C1D1 于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG. ∴截面为六边形PQFGRE. 2.①②③ 在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行， 故P、Q、R、S四点不共面.可证①中四边 形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS 为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形． $