第07讲 导数的概念和几何意义(考点讲解)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第07讲 导数的概念和几何意义 【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数． 【备考指南】 1.导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质． 2．导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题. 【考点总结】 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 【考点解析】 【考点】一、导数的几何意义 角度一　求切线方程 例1、 (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 【解析】　(1)因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x. (2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. 所以由解得x0＝1，y0＝0. 所以直线l的方程为y＝x－1， 即x－y－1＝0. 【答案】　(1)y＝3x　(2)x－y－1＝0 角度二　求切点坐标 例2、(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________． 【解析】　设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)． 【答案】　(e，1) 角度三　求参数 例3、(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 (2)(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x＋y＋1＝0相切，则实数a的值为________． 【解析】　(1)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得 (2)设直线x＋y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝－a，所以由题意，得，解得. 【答案】　(1)D　(2)2 角度四　导数与函数的图象 例4、 (1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) (2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________． 【解析】　(1)不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1<0<x2<x3，由导函数的图象可知，y＝f(x)在(－∞，x1)上为减函数，在(x1，x2)上为增函数，在(x2，x3)上为减函数，在(x3，＋∞)上为增函数，从而排除A，C.y＝f(x)在x＝x1，x＝x3处取到极小值，在x＝x2处取到极大值，又x2>0，排除B，故选D. (2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－. 因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 又由题图可知f(3)＝1， 所以g′(3)＝1＋3×＝0. 【答案】　(1)D　(2)0 导数几何意义的应用类型及求解思路 (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)． (2)若求过点P(x