第15讲 二次函数与一元二次方程、不等式-2021年暑假初升高数学衔接课程（基础版）（全国通用）

【高中新知识预习篇】 第15讲 二次函数与一元二次方程、不等式 一、基本知识及其典型例题 知识准备：区间表示 1．区间的定义、名称、符号及数轴 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半闭半开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.无穷大区间的表示 定义 符号 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号． ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大． 【例1】（1）（多选题）下列集合能用区间表示的有（ ） A. B. C. D.R （2）集合用区间表示为 。 【变式1】用区间表示下列集合： ①，② 知识点一 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的概念 ①只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. ②能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解. ③不等式所有解的集合称为解集. 2.“三个二次”的关系 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有两相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－ } R ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，得到解一元二次不等式的步骤： ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根；利用求根公式求根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ④由图象得出不等式的解集. (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得{x|x>n或x<m}； 若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m<x<n}. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间. 注意：实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等. 4.逆向问题：由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标. 【例2】求下列不等式的解集. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （6） （7） （8） 【变式2】求下列不等式的解集. （1）4x2－4x＋1>0 （2）2x2－3x－2≥0 （3）x2＋x－2<0 （4）2x2－x－1>0 （5）6x2＋x－2≤0 (6)－x2＋2x－3>0. （7）－3x2＋6x>2 （8）x2－1≤0 【例3】解不等式组： . 【变式3】不等式－1< x2＋2x－1≤2的解集是__________________. 【例4】在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任. 【变式4】某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：）与天数的关系是.水库原有水量为80000，水闸泄水量每天4000.当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由（水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险）. 知识点二 分式及绝对值不等式的解法 1.分式不等式：一般的分式不等式的同解变形法则： ① >0⇔f(x)·g(x)>0； ② ≤0⇔ ③ ≥a