第14讲 基本不等式-2021年暑假初升高数学衔接课程（基础版）（全国通用）

【高中新知识预习篇】 第14讲 基本不等式 一、基本知识及其典型例题 知识点一 基本不等式 1.基本不等式的概念：当a，b > 0， ≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立． 2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ≤ . 3.基本不等式的常见推论 : (1) (重要不等式) ∀a，b∈R，有a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． (2) ab ≤ ≤ ()； (3) ＋ ≥ 2 (a，b同号)； (4)a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca (). 4.利用基本不等式证明不等式 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2) 注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 【例1】证明不等式: a，b∈R , ab≤≤,当且仅当a=b时取等号. 【变式1】已知x，y都是正数. 求证：(1)＋≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3;（3）已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 知识点二 利用基本不等式比较大小 1.a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式.“当且仅当…时，取等号”这句话的含义是：当a＝b时，＝；当＝时，也有a＝b. 2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 【例2】(多选题)设a>0，b>0，下列不等式中恒成立的有（ ） A.a2＋1>a B. C. D.a2＋9>6a. 【变式2】下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（ ）. A． B． C． D． 【例3】已知，，若，证明：。 【变式3】已知，且，求证. 知识点三 利用基本不等式求最值 1.利用基本不等式求最值的条件(一正二定三相等)： (1) x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值； (3)等号成立的条件是否满足. 2.求最值模型(积定和最小，和定积最大) 已知x>0，y>0， (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值 . (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当时，xy有最大值 . 【例4】(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． （2）若函数在处取最小值，则等于（ ） A．3 B． C． D．4 （3）已知，则的最小值为（ ） A． B．6 C． D． (4)已知，则函数的值域为________． 【变式4】函数y＝的最大值为________． 【例5】(1)已知正数、满足，则的最小值为（ ） A．8 B．12 C．10 D．9 (2)已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5】（1）已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．9 D．10 （2）已知正数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． （3）已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例6】已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．9 【变式6】（1）若正数满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． （2）已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝的最小值为________． 知识点四 利用基本不等式求解实际问题 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件. 【例7】如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ） A．最小长度为8 B．最小长度为 C．最大长度为8 D．最大长度为 【变式7】（1）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ； （2）有一批材料可以建成200 m的围墙, 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等