第13讲 等式性质、不等式性质-2021年暑假初升高数学衔接课程（基础版）（全国通用）

【高中新知识预习篇】 第13讲 等式性质、不等式性质 一、基本知识及其典型例题 知识点一 不等式的概念 1.不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，如，等． 用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用“”或“”连接的不等式叫非严格不等式． 2.不等关系的分类 不等关系 不等式 a大于b a＞b a小于b a<b a不大于b（小于或等于） a≤b a不小于b（大于或等于） a≥b 【例1】某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是(　　) A . B C. D. 【变式1】（1）用不等式(组)表示不等关系)某写字笔原以2.5元/支的价格销售，可以售出8万支.据市场调查，若单价每减少0.1元，销售量就可能相应增加1.5万支.若把减价后写字笔的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于100万元呢？ （2）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元的键盘和单价为70元的鼠标.根据需要，键盘至少买3个，鼠标至少买2个。设购买键盘和鼠标分别为x个，y个，请写出满足上述所有不等关系的不等式 . 知识点二 比较大小 1.作差法比较大小（比较大小的基本思想） 依据： 步骤:作差→变形→判断符号→确定大小. 注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性． 2.作商法比较大小 依据： 【例2】若实数，比较两式大小：______ 【变式2】已知，则，，则和的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D．与和的取值有关 【例3】已知，，试比较与的大小； 【变式4】设，比较与的大小 【例5】已知且，试比较与的大小． 【变式5】比较下列各组中的两个实数或代数式的大小: （1）2x23与x2，x∈R； （2）a2与，a∈R，且a≠1. 知识点三 不等式的基本性质 性质1 （对称性）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即a＞bb＜a 性质2 （传递性）如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞ca＞c 如果c＜b，b＜a，那么c＜a．即c＜b，b＜ac＜a 性质3 （可加性）如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．即a＞ba＋c＞b＋c （推论：移项法则）如果a＋b＞c，那么a＞c－b．即a＋b＞ca＞c－b 性质4 （可乘性）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc 性质5 （同向可加性）如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 性质6 （同向同正可乘性）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd 性质7 （可乘方性）如果，那么an＞bn＞0 (n∈N，n≥2)． 性质8 （可开方性）如果，那么 n∈N，n≥2)． 【例6】（多选题）下列四个命题是真命题的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若且，则 【变式6】下列命题中,正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例7】已知a > b > 0，c < 0，求证： > . 【变式7】求证：. 【例8】设，则的大小顺序是______． 【变式8】设，，则与的大小关系是________． 【例9】日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明. 【变式9】甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 二、检测过关 1．不等式的解集为( ) A． B． C． D． 2．若实数，，，满足，，则下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 3．若，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．的大小由的取值确定 4．下列选项正确的是（ ） A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0 B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3 C．(x-3)2<(x-2)(x-4) D．x2+y2+1>2(x+y-1) 5．若a＞b，则下列各式中正确的是（　　） A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．a+c2＞b+c2 D． 6．